Primeiro, pegamos um quadrado, dividimos em 9 partes iguais (como se fizéssemos um "grid" 3x3) e subtraímos dele o quadrado que foi formado no meio. Ficaria assim:
Até aí, nada de mais. Mas, nos 8 quadrados menores restantes (de nosso "grid" 3x3) repetimos o mesmo processo, isto é, dividimos em 9 partes e tiramos o do meio. Vamos lá, use a imaginação!
Agora, sim, está começando a ficar interessante. Repetimos o processo mais uma vez, fica assim:
Bem, agora extrapolamos isso. Imagine que podemos repetir este processo infinitas vezes. Como meu tempo é finito, não pude fazer isso para botar aqui, mas usando softwares de matemática, dá para fazer um programa que gera esse carpete. A seguinte imagem retirada do Wikipédia foi feita desta forma.
Clique na imagem para ampliarEntendeu porque a chamam de carpete? Bem, em vez entrar em questões sobre a natureza matemática desta forma (um fractal), vamos fazer algo mais legal, provar que a área desse carpete é 0. Isso mesmo!
Demonstração
Uma boa estratégia para mostrar que a área deste carpete é 0, é somar todas as áreas dos quadradinhos retirados (em branco) e subtrair da área original, verificando que o resultado é 0. Isto é, basta mostrarmos que a soma de todas as áreas dos quadrados retirados é igual à área do quadrado inicial.
"Mas são infinitas áreas, você não pode somar infinitas vezes!". Posso sim, se você já aprendeu sobre séries na faculdade, sabe muito bem disso. Se não, lembra de algo chamado Progressão Geométrica (vulgo P.G.)? Pois bem, é isso que vamos utilizar aqui (apesar de podermos utilizar séries).
Agora que já escolhemos nossa estratégia, o problema consiste em acharmos um padrão que nos revele alguma coisa. Este padrão surgirá naturalmente depois que fizermos alguns cálculos. Que tal começar do começo?
Suponhamos que a medida do lado do quadrado inicial seja a. Então, olhando para a segunda figura, teremos que a área do quadradinho do meio (branco) será 
.
.Agora olhe para a segunda figura. Temos que somar as áreas dos 8 quadradinhos menores que fizemos, isto é, 
.
.Prosseguimos agora para a terceira figura. Note que a área dos outros 64 quadradinhos formados será 
.
.Vamos somar essas áreas que obtemos até agora.
Perceberam o padrão? Esta é a soma de uma P.G. infinita cujo primeiro termo é 
e a razão é 
. Feito isso, basta lembrarmos a fórmula da soma de uma P.G. Como a razão é menor que 1, podemos usá-la. Usaremos a seguinte fórmula.
e a razão é . Feito isso, basta lembrarmos a fórmula da soma de uma P.G. Como a razão é menor que 1, podemos usá-la. Usaremos a seguinte fórmula.Onde 
é o primeiro termo e 
é a razão.
é o primeiro termo e é a razão.Confira a dedução desta fórmula no final do post. Basta, então, substituir nossos valores, teremos o seguinte:
Para resolver isso, basta multiplicar por 9 em cima e em baixo. Portanto, você verá facilmente que a área dos quadrados retirados é 
, então a área do carpete é 
, como queríamos demonstrar.
, então a área do carpete é , como queríamos demonstrar.Surpresa gostosa que eu reservei pro final
Ok, você pode dizer, muito legal, mas isso tudo não serve pra nada, é uma completa perda de tempo. Eu digo, você está muito enganado!
Fala sério, você já viu biscoitos mais legais que esses? Quer aprender a fazer? Clique aqui. Como meus dotes culinários não são muito bons, não vou me arriscar.
Até.
Até.
Dedução da fórmula da soma da P.G. infinita
Subtraindo a segunda da primeira, temos:
Nota:
[*] Sobre o "não tinha nada para fazer" veja a discussão bem construtiva que isto gerou nos comentários. :D
13 comentários:
Eu só não entendi como fazer esses bicoitos.
Resumindo, podemos fazer biscoitos de carpetes matemáticos!
Por favor, que venha uma receita dessas de um físico!
Vai demorar pra digerir essa história de área zero. Ainda tá meio estranho pra mim, mas eu vou aceitar.
E esses biscoitos parecem bons. Apesar de parecer que a pessoa que inventou isso é muito criativo e desocupado.
O legal que o biscoito, tendo em vista o que foi provado, ele é TODO de chocolate ehheheheh =)
Como percebi que a maioria das pessoas que postam aqui estudam matemática ou física vou fazer um comentário crítico porém construtivo.
Inicialmente peço desculpas pelo tamanho do texto, mas garanto que são de grande importância os comentários.
Vocês realmente acham que as teorias matemáticas vem do acaso e da falta de ter o que fazer ?
Faço essa pergunta ( por mais idiota que seja ) só para esclarecer que tratar a matemática de maneira informal e descontraida para motivar o estudo e entendimento de pessoas alheias ao formalismo matemático não significa banalizar o conhecimento.
A matemática assim como a física surgiram como uma necessidade humana de explicar o mundo em que vivemos e portanto para resolver problemas práticos. O desenvolvimento da matemática atual é tal que hoje a matemática resolve problemas da própria matemática e não mais problemas práticos e aplicáveis.
Esse olhar sobre a matemática varia de pessoa para pessoa, para um engenheiro o estudo de equações diferenciais pode significar algo uma vez que a maioria dos estudos dessa área se desenvolva com atividade fim na engenharias. O mesmo estudo de Equações diferenciais pode ser um bixo de sete cabeças e totalmente sem aplicação para um arquiteto ...
O mesmo vale para os estudos de análise e topologia (relacionado ao tema do post). Esse resultado nada mais é do que uma generalização do Conjunto de Cantor.
Os estudos de Cantor sobre a teoria dos conjuntos não foram aleatórios como se pode ter entendido, mas foi o resultado de influências: da época, do lugar e das teorias matemáticas que estavam sendo desenvolvidas.
Existem muitos mitos na matemática até mesmo entre os matemáticos, um outro exemplo que me veio a mente agora é de que a maioria das pessoas acham que a Geometria foi criada por Euclides. De fato, a geometria foi criada ao longos dos anos pré-Euclides sobretudo por egípcios e foi então formalizada e estruturada sob o título "Elementos de matemática" de Euclides.
A matemática não é um santo graal pré existente e que os gênios da matemática sem ter o que fazer dedicam toda sua vida para encontrar. A matemática é o resultado do esforço coletivo de época, lugar e das necessidades de toda sociedade para solucionar problemas.
Concordo com praticamente tudo o que você disse. Mas vou complementar aqui com minhas observações.
Quando eu digo que "um matemático não tinha nada para fazer e..." é em tom jocoso, pois obviamente, como estudante de matemática, acredito que é exatamente este o trabalho dele.
O fato é que para a maioria esmagadora das pessoas, problemas matemáticos como esses simplesmente não fazem sentido ou não valem a pena ser estudados.
O que é muito triste, pois eu acho muito mais bonito a ciência pela própria ciência do que as ciências aplicadas, isto é, estudar um assunto simplesmente porque ele é interessante e talvez desafiador, e não por ele possuir uma aplicação prática.
De fato, muitas aplicações científicas só foram possíveis pois um "matemático sem nada para fazer" criou algo extremamente novo e estranho (aparentemente sem aplicação nenhuma) mas que depois alguém leu aquilo e falou "é exatamente o que eu precisava para embasar minha teoria".
Posso um exemplo, a Teoria dos Números que ficou praticamente 2 mil anos sem ter utilidade prática e hoje em dia é o que sustenta a criptografia digital.
Portanto, respondendo a sua pergunta, NÃO! É só pra descontrair.
Ficou meio longo tbm. :D
Apoiando o comentário do Tiago, antes de mais nada sou técnico em informática, muitas coisas inúteis se tornam (quase) úteis no longo da vida (como eu por exemplo).
Eu sempre gostei de matemática, mas nunca estudei profundamente, mas posso dizer com certeza que já utilizei muitas coisas inúteis que estudei na minha carreira.
O trato então é, como no ramo da informática, sempre se atualizar com o futuro e o passado também.
Só pra garantir o meu, não se ofendam por eu ter dito "desocupado". Eu não sou tão ignorante assim. É só só o meu jeito de falar ( e brincar). É a primeira reação de um leigo que vê uma coisa dessas e quer fazer uma piada.
Inclusive, eu também, conversando com várias pessoas, já defendi a idéia do saber pelo saber, mesmo que sem aplicação prática, imediata ou não.
Olá pessoal,
Eu não tive a intenção chamar ninguem de ignorante, nunca faria isso. Eu só queria expor um pensamento sobre a idéia de como surgem as teorias matemáticas e porque elas surgem em oposição a idéia de que elas são uma verdade oculta a nós pobres mortais e que seres iluminados tem o previlégio de revelar ao mundo .. hehe
Após o meu comentário algumas pessoas defenderam a idéia do saber pelo saber, algo do tipo o parnasianismo da matemática .. hehe.
Eu não defendo essa idéia "saber pelo saber", a idéia principal do meu comentário era mesmo o misticismo das descobertas matemáticas.
Todavia, como acho interessante o assunto, estou aberto a sugestões e opniões ...
"O que é muito triste, pois eu acho muito mais bonito a ciência pela própria ciência do que as ciências aplicadas, isto é, estudar um assunto simplesmente porque ele é interessante e talvez desafiador, e não por ele possuir uma aplicação prática."
Meu filho, se isso não é saber pelo saber, então o que é?!?
Juliana,
"Meu filho ..." mostra que vc está brava comigo (porque ?), no entanto o trecho apresentado em seguida não é meu ! É do Tiago ...
Eu não estou brava. Por quê as pessoa sempre acham isso?! É só o meu jeito de falar.
E foi mal por ter misturado os comments. Considerando o horário em que eu comentei dá pra entender um pouco porque eu não vi que o seu tinha terminado e o do tiago tinha começado.
Aprendi minha lição, não comento mais se estiver com sono.
rs
Reparem que tem um comentário do KOVACZ as 4 e poko da matina .. hahaha
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