Uma prova diferente para a infinitude dos números primos

Imagino que todo mundo que gosta de matemática conheça a famosa demonstração de Euclides para a infinitude dos números primos. Aquela que começa assim:

"Suponha que existem finitos primos, a saber, . Então, considere o número . Então..."

O resto fica como exercício para o leitor. :b



A beleza dessa demonstração consiste em sua simplicidade e a (quase) total ausência de pré-requisitos matemáticos. Além de ser uma das primeiras provas por absurdo a existir.

O que vou apresentar aqui é uma demonstração também bastante conhecida, e também por absurdo, mas que envolve um conhecimento um pouco maior de Álgebra e/ou Teoria dos Números. Especificamente, é o Teorema de Lagrange, para grupos.

Teorema: Existem infinitos números primos.

Demonstração: Suponha que existe uma quantidade finita de números primos. Seja o maior deles. Então, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, o Número de Mersenne é divisível por algum primo . Então, podemos escrever . Pelo Teorema de Lagrange, , e portanto, . O que é absurdo, pois, por hipótese, era o maior número primo. Logo, existem infinitos números primos.

Até.

Obs.: Ambas as demonstrações mencionadas neste post são "proofs from the book".