Este post surgiu do espanto causado em nós (eu e Gabriel) ao vermos uma solução, de um problema da segunda fase da Fuvest, extremamente complicada (proposta pelo Cursinho Etapa) quando, na verdade, existem soluções muito mais criativas e simples.
O problema é o seguinte:
Seja n um número inteiro,
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que
. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.
---
A solução do Etapa se encontra neste link. Primeiramente, vou exibir a solução que eu e o Gabriel pensamos (créditos maiores ao segundo) e depois comento.
a) Se fixamos o número de bolas que Luís tem, o número de bolas que Antônio tem fica completamente determinado. Isto é, se Luís pega i bolas, Antônio fica com as n-i que sobraram. Portanto, basta variar o número i de bolas de Luís e esgotamos todas as possibilidades. Isto é, temos no total n+1 possibilidades (temos de contar o caso i=0 também!).
b) Aqui, o raciocínio é análogo ao item a). Por exemplo, podemos fixar o número i de bolas de Pedro. Pelo item a), Luís e Antônio têm n-i+1 formas de distribuírem as bolas entre si. Então, variando i de 0 até n, basta somarmos
e obtemos o número total de possibilidades.
c) O número total de possibilidades de Pedro receber num número maior ou igual a k bolas é dado por
(o raciocínio aqui é análogo ao feito no item b), com i variando de k até n). Portanto, a probabilidade p disto ocorrer é dada por
Comentários:
Existem outras formas criativas de resolver este problema. A solução do Etapa somente torna maior a minha convicção de que cursinhos pré-vestibular (em sua maioria) não ensinam Matemática, ensinam apenas a decorar fórmulas.
Até.
O problema é o seguinte:
Seja n um número inteiro,
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que
. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.---
A solução do Etapa se encontra neste link. Primeiramente, vou exibir a solução que eu e o Gabriel pensamos (créditos maiores ao segundo) e depois comento.
a) Se fixamos o número de bolas que Luís tem, o número de bolas que Antônio tem fica completamente determinado. Isto é, se Luís pega i bolas, Antônio fica com as n-i que sobraram. Portanto, basta variar o número i de bolas de Luís e esgotamos todas as possibilidades. Isto é, temos no total n+1 possibilidades (temos de contar o caso i=0 também!).
b) Aqui, o raciocínio é análogo ao item a). Por exemplo, podemos fixar o número i de bolas de Pedro. Pelo item a), Luís e Antônio têm n-i+1 formas de distribuírem as bolas entre si. Então, variando i de 0 até n, basta somarmos
e obtemos o número total de possibilidades.
c) O número total de possibilidades de Pedro receber num número maior ou igual a k bolas é dado por
(o raciocínio aqui é análogo ao feito no item b), com i variando de k até n). Portanto, a probabilidade p disto ocorrer é dada por
Comentários:
Existem outras formas criativas de resolver este problema. A solução do Etapa somente torna maior a minha convicção de que cursinhos pré-vestibular (em sua maioria) não ensinam Matemática, ensinam apenas a decorar fórmulas.
Até.
4 comentários:
No meu tempo de colégio não aprendíamos esse negócio de contar o número de soluções inteiras de uma equação. Já no ensino superior, vi esse assunto em uma disciplina de combinatória e realmente facilita muito a vida se vc souber como se faz pra contar essas soluções: muitos problems de combinatória recaem nisso, basta ver que esse exercício é puramente aplicação desse princípio. O truque de fazer a mudança de variável no terceiro item também é muito corriqueiro nessa disciplina. Bem, se isso agora virou assunto de ensino médio, então não vejo razão na crítica de vocês. Se isso não é dado, então realmente deveriam ter fornecido uma solução alternativa, mais provável dos alunos terem feito, como a que vocês propoem.
Parabéns pelo post.
Abraços,
Anônimo.
Olá Anônimo! Obrigado pelo comentário.
Bem, eu nunca aprendi isso no colégio. Concordo que se você utiliza muito esta fórmula, é possível que você bata o olho num problema e veja de imediato como aplicá-la. Isto não é errado.
Contudo, eu nunca aprendi essa fórmula no colégio e aposto que muitas outras pessoas também não. Além disso, nesta questão é evidente que a aplicação direta da fórmula gerou muito mais contas do que um raciocínio criativo.
Aliás, sinto que o que falta no colégio e em cursinhos é os professores incentivarem os alunos a desenvolverem soluções inteligentes e criativas, pois é nisso que consiste a Matemática.
Até.
lembro desta questao, fí-la de mum modo criativo:
trabalhando com permutações de bolas e barras.
Parabéns pelo post. Foi de grande ajuda, eu havia visto a resolução do Etapa mas não tinha entendido nada, não conhecia aquela fórmula. Totalmente baseado na sua resolução eu consegui sair do item b) por PA...depois de uma semana tentando.
Muito obrigada!
Adorei o blog!!!
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