Recentemente, no blog Fatos Matemáticos, o autor postou sobre o clássico problema dos aniversários. O que torna este problema tão famoso é o fato de sua solução ser completamente contra-intuitiva. Para citar um exemplo, suponha que numa sala há 40 pessoas; a probabilidade de existirem duas pessoas que fazem aniversário na mesma data é de quase 90%!
No entanto, como o cálculo dessa probabilidade envolve fatoriais, costumamos aproximar a solução, deixando a fórmula num formato mais fácil de ser computado. Em seu post, o Prof. Paulo Sérgio aproximou a solução utilizando a conhecida fórmula de Stirling. Mas, neste problema, existe uma aproximação um pouco menos eficiente mas que é muito mais simples. Vejamos:
Queremos aproximar a probabilidade
Note que
Agora, observe o gráfico das funções 
e 
.
Para valores de
próximos de 
, a reta é bem próxima da função . Portanto, nossa aproximação consiste em apenas substituir os valores 
por 
. Esta aproximação será boa porque, neste problema, estamos trabalhando com valores de 
muito menores que 
.
Substituindo na fórmula, temos
Somando os expoentes, teremos no final
Vamos verificar se esta aproximação está realmente boa. Para isso, vou substituir alguns valores de
e comparar com os resultados obtidos no Fatos Matemáticos. Os meus resultados estão em azul.
Até.
No entanto, como o cálculo dessa probabilidade envolve fatoriais, costumamos aproximar a solução, deixando a fórmula num formato mais fácil de ser computado. Em seu post, o Prof. Paulo Sérgio aproximou a solução utilizando a conhecida fórmula de Stirling. Mas, neste problema, existe uma aproximação um pouco menos eficiente mas que é muito mais simples. Vejamos:
Queremos aproximar a probabilidade
Note que
e .
Para valores de
próximos de , a reta é bem próxima da função . Portanto, nossa aproximação consiste em apenas substituir os valores por . Esta aproximação será boa porque, neste problema, estamos trabalhando com valores de muito menores que .Substituindo na fórmula, temos
Somando os expoentes, teremos no final
Vamos verificar se esta aproximação está realmente boa. Para isso, vou substituir alguns valores de
e comparar com os resultados obtidos no Fatos Matemáticos. Os meus resultados estão em azul.
Até.
7 comentários:
Eu sempre aproximei exp(x) por (1+x), mas é a primeira vez que vejo ao contrário :)
Tiago, novamente o seu blog está de parabéns! Realmente esta complemementação ficou muito boa, enriquecendo o assunto. Isso vem mostrar, como eu escrevi no duocentésimo post, que os blogs serão a principal forma de divulgar o conhecimento.
Ricardo Bittencourt, já vi coisas bem piores : ) Veja no Chen, Rep Group Theory, acho que cap 10, ele faz algo similar com operadores.... hehehehe
Aproximar exp(x) por 1+x e exp(-x) por 1-x não é tão ruim quando x é pequeno. Um outro jeito de ver isso, sem ser pelo gráfico, é expandindo exp(x) e exp(-x) em taylor, coisa que os físicos, como o Thiago, fazem de olhos fechados e sem dor na consciência.
Outra coisa interessante é que, normalmente, estamos acostumados a colocar 1+x no lugar de exp(x) para facilitar a conta. Nesse exemplo, fizemos o contrário, simplesmente por causa da propriedade de adição dos expoentes.
E obrigado ao Paulo pelo comentário. ;-)
Tiago, pelo que vi quem tá usando essas coisas é você..... =P E eu fico com dor na consciência sim... só não deixo de fazer : )
Ah! Mas isso aqui é matemática recreativa. Não estou tentando descrever o universo com aproximações porcas...
Ok, parei. É brincadeira viu?
Tiago segura sua onda ae...
Primeiro foi você que postou sobre aproximações numéricas huhuahuaha
Divertido o post, mesmo que o assunto não me atraia muito.
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