Olá galerinha do LeGauss!
Hoje venho amenizar uma das suas maiores angústias! Sim falo sobre a solução daquele problema que você viu enquanto estudava extensão de corpos, números construtíveis...
Sim! Eu vou mostrar a minha solução para a trissecção do ângulo, o problema que todos diziam ser impossível de ser resolvido!
Tá não é bem assim...
Na verdade, quando estudamos o corpo dos números construtíveis, etc, provamos que é impossível trissectar um ângulo qualquer utilizando apenas régua e compasso. Essa solução foi bolada pelo matemático Nicomedes que viveu mais ou menos entre 280 e 210 a.C e para resolver esse problema ele usou uma curva que ele costumava estudar, que se chama conchóide.
Eu direi agora o lugar geométrico que uma conchóide de uma reta representa, para saber como desenhar uma clique no link acima ou aqui.
Dada uma reta
, a sua conchóide de intervalo 
com relação ao ponto 
é uma curva com a seguinte propriedade:
Dado um ponto
sobre esta curva traçamos o seguimento 
agora marcamos o ponto 
que é a interseção de com . Temos que o comprimento de 
é constante e igual a .
O exemplo acima mostra a conchóide
da reta 
com intervalo 
em relação a origem. Isto é, os segmentos 
e 
tem comprimento
Ok, espero que tenham entendido até aqui, vamos agora realmente à solução do problema.
Vamos trissectar um ângulo
arbritrário. Primeiro traçamos esse ângulo em relação ao eixo 
Marcamos os pontos A e B como na figura acima e chamamos de
o tamanho do seguimento 
.
Agora desenhamos a conchóide da reta com intervalo 
em relação à origem.
Após isso marcamos também o ponto
que é obtido traçando-se uma linha vertical a partir de 
e marcando a intersecção dessa vertical com a conchóide.
Agora traçamos o seguimento
E por final marcamos o ponto
que dista de note que ele é o ponto médio do seguimento 
.
Bom, vamos mostrar agora que
.
Preste atenção no triângulo
.
Podemos considerar o ponto como o centro de um círculo de raio , além disso, lembre-se que o ângulo 
é reto, logo o triângulo está inscrito nessa circunferência e o segmento 
é um raio do círculo, portanto tem medida .
Uma imagem para quem teve dificuldade de enxergar:
Temos agora o seguinte esquema:
Sendo
.
Vemos agora que basta provar que
e assim teremos trissectado o ângulo .
Sabemos que
, pois são alternos externos.
Além disso
é um ângulo externo do triângulo 
que é isósceles, logo temos que:
E como
também é isósceles, 
E isso termina o problema!
Espero que tenham curtido ;^)
Não usem o gimp para desenhar matemática!
Hoje venho amenizar uma das suas maiores angústias! Sim falo sobre a solução daquele problema que você viu enquanto estudava extensão de corpos, números construtíveis...
Sim! Eu vou mostrar a minha solução para a trissecção do ângulo, o problema que todos diziam ser impossível de ser resolvido!
Tá não é bem assim...
Na verdade, quando estudamos o corpo dos números construtíveis, etc, provamos que é impossível trissectar um ângulo qualquer utilizando apenas régua e compasso. Essa solução foi bolada pelo matemático Nicomedes que viveu mais ou menos entre 280 e 210 a.C e para resolver esse problema ele usou uma curva que ele costumava estudar, que se chama conchóide.
Eu direi agora o lugar geométrico que uma conchóide de uma reta representa, para saber como desenhar uma clique no link acima ou aqui.
Dada uma reta
, a sua conchóide de intervalo com relação ao ponto é uma curva com a seguinte propriedade:Dado um ponto
sobre esta curva traçamos o seguimento agora marcamos o ponto que é a interseção de com . Temos que o comprimento de é constante e igual a .O exemplo acima mostra a conchóide
da reta com intervalo em relação a origem. Isto é, os segmentos e tem comprimento Ok, espero que tenham entendido até aqui, vamos agora realmente à solução do problema.
Vamos trissectar um ângulo
arbritrário. Primeiro traçamos esse ângulo em relação ao eixo Marcamos os pontos A e B como na figura acima e chamamos de
o tamanho do seguimento .Agora desenhamos a conchóide da reta
com intervalo em relação à origem.Após isso marcamos também o ponto
que é obtido traçando-se uma linha vertical a partir de e marcando a intersecção dessa vertical com a conchóide.Agora traçamos o seguimento
E por final marcamos o ponto
que dista de note que ele é o ponto médio do seguimento .Bom, vamos mostrar agora que
.Preste atenção no triângulo
.Podemos considerar o ponto
como o centro de um círculo de raio , além disso, lembre-se que o ângulo é reto, logo o triângulo está inscrito nessa circunferência e o segmento é um raio do círculo, portanto tem medida .Uma imagem para quem teve dificuldade de enxergar:
Temos agora o seguinte esquema:
Sendo
.Vemos agora que basta provar que
e assim teremos trissectado o ângulo .Sabemos que
, pois são alternos externos.Além disso
é um ângulo externo do triângulo que é isósceles, logo temos que:E como
também é isósceles, E isso termina o problema!
Espero que tenham curtido ;^)
Obs:
Não usem o gimp para desenhar matemática!
2 comentários:
Muito legal este post! Gostei mesmo.
É uma boa pegadinha pra quem está estudando números construtíveis. É claro que é impossível fazer esta construção com régua e compasso, tá provado! :b Mas o interessante é descobrir aonde que você fez a "construção ilegal". Imagino que seja na hora de marcar o ponto C.
Aliás, existe uma fórmula fechada (em função de x e y) para a conchoide?
Sim é exatamente na construção do ponto C =P
E sim tem uma fórmula fechada huahua senão teria que ter desenhado a conchóide na mão em vez de plotar xD
A conchóide de uma reta Y=a de intervalo b relativa a origem é dada pela fórmula
(Y - a)²(X² + Y²)=b²Y²
dá pra deduzir essa fórmula com a definição que eu dei da conchóide nesse post...
Mas na verdade existe uma conchóide para uma curva qualquer por exemplo o caracol de pascal
(X²+Y²)²-2aX(X²+Y²)+(a²-b²)X²-b²Y²=0
ou em coordenadas polares
r=a.cos(teta) +/- b
é a conchóide de intervalo b da circunferência r=a.cos(teta) em relação a origem =P
Plote pra ver que é bonitinho huahua valeu pelo comentário!
Postar um comentário