Olá galerinha do LeGauss.
Continuando meus estudos sobre curvas algébricas li sobre um lema que achei bonito e decidi postá-lo aqui. O lema dos três pontos (three point lemma) dá uma boa interpretação geométrica do que é uma afinidade, transformações muito utilizadas em geometria algébrica.
Vamos por a mão na massa então.
Continuando meus estudos sobre curvas algébricas li sobre um lema que achei bonito e decidi postá-lo aqui. O lema dos três pontos (three point lemma) dá uma boa interpretação geométrica do que é uma afinidade, transformações muito utilizadas em geometria algébrica.
Vamos por a mão na massa então.
Primeiro, vamos definir o que é uma afinidade.
1) Afinidades
Uma afinidade
é uma composição de uma transformação linear inversível e uma translação, i.e., seja 
e 
uma matriz inversível, temos:
Geometricamente, você que está familiarizado com álgebra linear deve conseguir enxergar que essa transformação faz alguns esticamentos e rotações e depois translada o resultado.
É fácil provar também que as afinidades formam um grupo com a operação de composição. A parte mais "difícil" da prova é mostrar o inverso mas note que se então 
.
E agora vamos ao lema e sua prova!
2) O lema dos três pontos
Sejam
e 
triplas de pontos não colineares, então existe uma única afinidade que leva respectivamente em .
Demonstração:
Como as afinidades formam um grupo, basta mostrar que podemos levar os pontos
respectivamente nos pontos quaisquer, não colineares.
Pois se
e 
, então 
e o mesmo vale para os outros pontos, além disso a unicidade vai também valer (pela unicidade de inversos em grupos).
Precisamos então de uma afinidade
tal que:
É fácil ver que esse sitema define unicamente
, logo define, também unicamente, nossa afinidade. Além disso precisamos provar que 
, pois a transformação linear da afinidade tem que ser inversível.
Suponha por absurdo que
. Isto implicaria que os vetores 
são linearmente dependentes, logo os pontos 
são colineares e são também colineares suas translações o que contradiz o enunciado.
Logo.
Espero que tenham curtido!
Abraços.
Bibliografia
C.G.Gibson - Elementary Geometry of Algebraic Curves
1) Afinidades
Uma afinidade
é uma composição de uma transformação linear inversível e uma translação, i.e., seja e uma matriz inversível, temos:Geometricamente, você que está familiarizado com álgebra linear deve conseguir enxergar que essa transformação faz alguns esticamentos e rotações e depois translada o resultado.
É fácil provar também que as afinidades formam um grupo com a operação de composição. A parte mais "difícil" da prova é mostrar o inverso mas note que se
então .E agora vamos ao lema e sua prova!
2) O lema dos três pontos
Sejam
e triplas de pontos não colineares, então existe uma única afinidade que leva respectivamente em .Demonstração:
Como as afinidades formam um grupo, basta mostrar que podemos levar os pontos
respectivamente nos pontos quaisquer, não colineares.Pois se
e , então e o mesmo vale para os outros pontos, além disso a unicidade vai também valer (pela unicidade de inversos em grupos).Precisamos então de uma afinidade
tal que:É fácil ver que esse sitema define unicamente
, logo define, também unicamente, nossa afinidade. Além disso precisamos provar que , pois a transformação linear da afinidade tem que ser inversível.Suponha por absurdo que
. Isto implicaria que os vetores são linearmente dependentes, logo os pontos são colineares e são também colineares suas translações o que contradiz o enunciado.Logo
.Espero que tenham curtido!
Abraços.
Bibliografia
C.G.Gibson - Elementary Geometry of Algebraic Curves
7 comentários:
Legal! Vou ver se tem esse livro por aqui.
O Gregório fala sobre isso no livro dele e inclusive da uma abordagem mais matricial para tudo isso, que é bem importante(especialmente do ponto de vista computacional).
A representação matricial pode ser mais válida num sentido computacional mas essa representação é bem mais geométrica e intuitiva, isso que me agrada nela.
Vc pode tirar muitas propriedades algébricas interessantes do ponto de vista matricial. Além do fato que a idéia de escrever daquele jeito é criativa por si só. Em geral, muitos teoremas que vc pode provar com a abordagem intuitiva, se reduzem à problemas de algebra linear que vc ja fez e pode simplesmente "reciclar" para esse caso particular.
Bom olhando o artigo direito agora é basicamente a mesma coisa! A diferença está no fato que é feito um truque no outro caso para jogar as translações pra dentro das matrizes tbm... daí algumas coisas ficam menos evidentes(pq o truque já é meio artificial e mascara parte da geometria intuitiva)e outras mais(as contas ficam mais óbvias).
A representação que eu pensava era criar uma base [X,Y]=(x,y,1)
Fixando um grau de liberdade você ainda está em um plano mas sua afinidade pode ser representada como uma matriz só, mas acho isso mais feio, menos claro, só isso.
De qualquer forma, obrigado pelos comentários.
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