Calculando séries infinitas

Hey galerinha do LeGauss.

Vou postar hoje uma aplicação interessante da teoria de séries de Fourier.
Vou introduzir rapidamente o assunto sem desenvolver teoria alguma, e partiremos direto para a aplicação.

Mãos à obra!

Série de Fourier

Obs: Uma identidade fundamental que eu vou usar e não vou provar mas é fácil de se provar sabendo algo a respeito de convergência uniforme de séries de funções é:


Agora sim vamos ao que interessa.

Suponhamos que temos uma função periodica de período e que queremos escrevê-la como uma série do tipo:


Com .
Temos que se:


Pelo teste M de Weierstrass a série converge absoluta e uniformemente, já que .
Agora seja um inteiro qualquer:



Além disso note que:



E isso nos da:



Que são o que chamamos de coeficientes de Fourier de .

Isso é o suficiente de teoria sobre séries de Fourier, vamos ao que interessa.

Calculando séries:

Vamos tentar calcular a série de Fourier da função .

Obs: Quando eu escrever estou querendo dizer os inteiros sem o , o mesmo vale para os naturais.

Usando as fórmulas obtidas acima vemos que:



E essa série converge absoluta e uniformemente pelo teste M de Weierstrass no intervalo (Isso só quer dizer que podemos expressar nossa função através de sua série de Fourier).

Então:



E agora vamos brincar com essa equação e descobrir coisas reveladoras. =P

Substituindo conseguimos:



Divertido não? Similarmente substituindo e notando que temos:



Bem é isso, tem muita conta mas os resultados são divertidos.
Até a próxima. ;^)

Notas:
Deixei alguns links no meio do texto caso vocês queiram procurar mais sobre algum assunto na wikipedia, a teoria de séries de Fourier pode ser desenvolvida para um intervalo qualquer de periodicidade, da forma que eu escrevi essa introdução é fácil ver como é feita a adaptação.