O Teorema do Ponto Fixo de Banach

Olá galerinha do LeGauss.

Nesse post vou provar um teorema famoso e bastante utilizado sobre contrações em espaços métricos completos.

Se você não sabe o que é um espaço métrico dê uma olhada nesse link, na verdade é simplesmente um espaço dotado de uma métrica, uma função que diz a distância de dois pontos, que respeita certas propriedades que estão aí nesse link.

O enunciado do Teorema do Ponto Fixo de Banach diz o seguinte:

Seja um espaço métrico completo munido da métrica e , uma contração contínua, isso é, uma função contínua tal que tal que . Então possui um único ponto fixo , i.e. .

Então vamos à prova.

Dê uma olhada nessa sequência:


Onde é um elemento fixo qualquer.
Veremos que na verdade essa sequência não vai depender de quem é , então simplesmente escolha seu elemento preferido de e dê a ele o título de =P.

Temos que provar 3 coisas para demonstrar o teorema:

(1) A sequência converge.
(2) é um ponto fixo de . (Existência)
(3) Sejam dois pontos fixos de , então . (Unicidade)

Primeiro vamos provar (2):

Apenas note que .

Essa foi rápida o/, note que usei a continuidade de aí no meio.

Agora vamos provar (3):

Sejam dois pontos fixos de temos que:



Logo,

e além disso

Temos então que , i.e. .

Finalmente provamos (1):

Provaremos que é uma sequência de Cauchy, como é completo, ela necessariamente vai convergir.

Para provar isso veja que:



E mais geralmente teremos que:



Então:



Na última passagem percebam que aquilo é uma série geométrica, e é menor ou igual a sua soma infinita. Como tende a quando tende a infinito isso claramente tende a zero.

Logo é de Cauchy e como é completo, ela converge.

Esse é um teorema forte que tem uma demonstração razoavelmente simples, mas é bonita a ideia de que iterando a contração diversas vezes você leva qualquer ponto em no ponto fixo.

Espero que tenham curtido.
Até a próxima.