Introdução à topologia de Zariski

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou postar sobre uma coisa importante em geometria algébrica e que na verdade só estou postando porque vai servir de requisito para um próximo post do Tiago.

Mas não deixa de ser interessante por si só! =P

Definimos primeiramente sobre um corpo o espaço afim de dimensão :


Basicamente esse é o espaço , porém é apenas um conjunto, não possui estrura de adição, nem espaço vetorial etc, nem pontos especiais.

Sobre esse conjunto definimos subconjuntos que chamamos conjuntos algébricos, eles estão na verdade relacionados a ideais no anel de polinômios , e formam curvas, superfícies e hipersuperfícies no espaço afim.

Mais precisamente dado um ideal , associamos a ele o conjunto algébrico


E agora vou escrever umas propriedades importantes sobre esses conjuntos algébricos.

(1)
(2)
(3)

Essas afirmações são razoavelmente imediatas da definição, vocês podem formalizar se quiserem, não deve ser muito difícil.

Essas 3 afirmações nos mostram que os conjuntos algébricos possuem todas as propriedades que os fechados de uma topologia possuem.

Podemos então definir uma topologia em onde os fechados são os conjuntos algébricos (e os abertos seus complementares).
Essa é a chamada topologia de Zariski.

Basicamente é isso, esperem até o próximo post para ver que tipos de coisas podemos fazer com essa topologia. xD

Referências:

Para ler mais sobre isso recomendo o livro do Fulton upado na nossa pasta ainda não inaugurada. (esse livro está disponível online no site do Fulton também.)

Ou o Elementary Algebraic Geometry do Klaus Hulek.