Polinômios não solúveis por radicais

Olá galerinha do LeGauss

Vou provar um resultado legal nesse post que exige um pouco de teoria de Galois para entender (mais específicamente entender a correspondência de Galois).
Peço desculpas àqueles que não tem ainda a teoria para entender o post (de repente tentar ler é um bom estímulo para aprender essa teoria tão legal).

O teorema é o seguinte:

Teorema: Seja um polinômio irredutível de grau , primo, em . Se possui exatamente duas raízes não reais, então, se é o corpo de fatoração de temos que,

Notações:

:= Conjunto das raízes de .
:= grupo de automorfismos da extensão
:= grau da extensão.
:= Ordem do grupo .
:= SEMPRE é um primo. =P

Antes vamos provar um pequeno lema.

Lema: é gerado por qualquer transposição e qualquer -ciclo.

Demonstração: Depois de renomear os elementos podemos supor que a transposição é , e podemos escrever o -ciclo de forma que ocorra na primeira posição, . Sabemos que alguma potência de leva em , e sabemos que também será um -ciclo (usando o fato de que é primo), como , podemos então supor que desde o início. Depois de renomear os elementos novamente temos que .
Agora sabemos que.



Logo, todas as tranposições estão em , mas as transposições geram para qualquer .

Portanto .

Vamos à prova do teorema em si.

Demonstração: Seja e . Como é irredutível, , como pelo teorema de jigglypuff , pois é Galois.

Pelo teorema de Cauchy, existe um elemento em de ordem , mas os únicos elementos de ordem em são -ciclos (a ordem de uma permutação é o mmc dos comprimentos dos ciclos disjuntos que compõem ela). Isso é, existe , um -ciclo agindo nas raízes de .

Seja a conjugação complexa em ( é claramente um -automorfismo). fixa todas as raízes de , menos as complexas, essas ele troca.

Então , possui um -ciclo e uma transposição. Logo .

É um fato da vida que não é solúvel.

E um outro teorema, bem importante, da teoria de Galois diz que um polinômio é solúvel por radicais (i.e. suas raízes podem ser expressas por somas, multiplicações, divisões, radiciações, etc, finitas de números no corpo de base) se e somente se, o grupo de automorfismos do seu corpo de decomposição é solúvel.

Ou seja esse teorema mostra um jeito fácil de saber se o um polinômio não é solúvel por radicais.

É isso, espero que tenham curtido!
Abraço.