Olá, vamos direto ao problema:
Diga se a série converge, e se sim diga para qual valor.
Vamos à solução:
Vou criar umas variáveis e fazer umas contas que no final vão dar muito certo.
Sejam
e 
. Vamos utilizar a famosa identidade trigonométrica.
Tomando
dos dois lados da equação e fazendo 
e 
(lembrando também que 
e 
).
E isso transforma nossa série aparentemente bizarra em uma série telescópica.
Vamos olhar a soma dos 5 primeiros termos por exemplo.
Isso já nos da uma boa (boa o suficiente para mim) dica do que está se cancelando.
Seja então
Podemos deduzir que:
E isso acaba o problema.
Espero que tenham curtido. Até
Vou criar umas variáveis e fazer umas contas que no final vão dar muito certo.
Sejam
e . Vamos utilizar a famosa identidade trigonométrica.Tomando
dos dois lados da equação e fazendo e (lembrando também que e ).E isso transforma nossa série aparentemente bizarra em uma série telescópica.
Vamos olhar a soma dos 5 primeiros termos por exemplo.
Isso já nos da uma boa (boa o suficiente para mim) dica do que está se cancelando.
Seja então
Podemos deduzir que:
E isso acaba o problema.
Espero que tenham curtido. Até
3 comentários:
Interessante o problema, mas um pouco confuso, olhando para os 5 primeiros termos. Seria mais interessante, mostrar que S_n é uma soma telescópica que reduz aos termos da penúltima expressão.
Coloquei S_5 justamente para deduzir de forma otimista a fórmula na penúltima expressão, para tornar a prova rigorosa seria necessário fazer uma indução, qualquer coisa diferente disso seria totalmente similar à soma dos primeiros termos.
ohhh anonimo gbzaoo ,,, foi justamente isso que ele fez cara, ta de fuleragi!!
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