O Teorema Fundamental da Álgebra (prova diferencial)

E aí galerinha.

Decidi postar uma prova que eu li no livro do Milnor "Topology from the Differentiable Viewpoint" do teorema fundamental da álgebra usando apenas um pouco de análise, vamos à prova.

Teorema Todo polinômio complexo não constante possui um zero

Prova:

Considere a esfera e a projeção estereográfica



Do pólo norte de . Vamos identificar o plano com o plano complexo. O polinômio que mapeia em si mesmo corresponde a um mapa de em si mesmo.



Afirmação: O mapa é suave.

Para é imediato, para considere a projeção estereográfica em relação a e faça



Observando a fórmula da projeção estereográfica é fácil deduzir que



Então se com é fácil ver que



Logo é suave em e segue que é suave em .

Para terminar note que possui apenas uma quantidade finita de pontos críticos, pois só não é um difeomorfismo local nos pontos onde a derivada se anula e é um polinômio. O conjunto de valores regulares de é portanto conexo já que é uma esfera com um número finito de pontos retirados, logo a função localmente constante , onde é um valor regular é na verdade constante nesse conjunto, como não pode ser zero em todo o conjunto ela é, portanto diferente de zero em todos valores regulares, como obviamente é diferente de zero se é um valor crítico, segue que é sobre e o polinômio possui ao menos um zero.

Legal não?
Então é isso até a próxima.