Decomposição Primária e EDO's

E aí galerinha do LeGauss

Conforme os estudos vão ficando mais tensos os post vão ficando mais escassos hehe, mas vou tentar me policiar para postar mais (agora que as aulas estão começando etc).

Nesse post vou provar o que é basicamente o teorema da decomposição primária e usar isso para provar que o espaço de soluções de uma EDO de ordem linear com coeficientes constantes tem dimensão , o que é na verdade uma aplicação legal do teorema de decomposição primária.

Eu tentei explicar tudo bem direitinho (quando não expliquei deixei claro o que estava assumindo) durante o post, principalmente coisas que são "assumidas" (na verdade completamente omitidas) na maioria dos livros de cálculo e EDO's que você vê por aí, esse teorema é bem fundamental, então se você assume muitas coisas tudo parece besteira. É normal você perguntar "Qual é a solução de uma EDO desse tipo?" para uma pessoa e ela saber responder, mas como viu um método bem ad hoc (thumbs up para o meu latim xD) de como encontrar a solução, não saber justificar por que todas soluções são realmente dadas por aquela forma. É nesse sentido que esse teorema é legal.

Depois desse papo vamos à matemática.

Teorema Seja um operador linear num espaço vetorial sobre um corpo . Se é um polinômio mônico tal que com cada irredutível e , denotando então:

(i)

(ii) Cada é invariante por

Demonstração

Obs: Não há restrição sobre a dimensão de

A ideia da demonstração é encontrar as projeções tal que , lembrando que a projeção é uma função tal que

(i)

(ii) (projetar uma projeção não faz nada)

(iii) (isso força a decomposição a ser uma soma direta)

Vamos procurar essa decomposição obviamente usando e

Basta fazer , como os polinômios são primos entre si existem tais que


(Isso é consequência de que o ideal gerado pelos é o anel todo, caso contrário ele seria um ideal próprio de que é um anel principal e teria um único gerador, que seria um polinômio que diviria todos contrariando o fato de que eles são primos entre si.)

Note que se então divide .

Fazendo é fácil ver que as funções cumprem os requisitos, como temos que e como divide temos que .

Além disso logo a imagem de está contida em para mostrar a continência contrária basta notar que se , ou seja, temos que


Pois divide para , logo .

O fato de que eles são invariantes por é evidente pois se então , o que termina a demonstração do teorema.

Obs: Quando tem dimensão finita e é o polinômio mínimo de esse é basicamente o teorema da decomposição primária.

Agora vamos usar esse teorema para provar coisas sobre o espaço de soluções de uma EDO.

Considere o espaço vetorial de funções complexas , vezes continuamente diferenciáveis. na verdade vamos considerar o contradomínio complexo só para conseguir fatorar polinômios em seus fatores lineares, note que o contradomínio não faz muita diferença no conceito de derivação, noções como holomorfia aparecem quando você tem funções de domínio complexo, isso é um pouco delicado conceitualmente então se quiser você pode simplesmente assumir que nosso polinômio se fatora em polinômios lineares, pois só iria usar o contradomínio complexo para ter o direito de invocar o teorema fundamental da álgebra, mas o caso complexo é bem importante na física por exemplo, muitos modelos dados por polinômios de raizes complexas são importantes, como por exemplo os modelos de osciladores etc.

Agora considere o subespaço vetorial de funções tal que


A primeira coisa que precisamos notar é que , a derivação, é um operador linear em , que ela é linear é claro o que não é claro é que para toda temos que .

Primeiramente note que , isso é consequência de que


Mas o lado direito dessa equação é uma função (pois ) logo o que por definição diz que e que , agora usando a linearidade da diferenciação é só notar que


(Note que antes não poderíamos fazer essa conta já que não sabíamos que , além disso note que poderíamos continuar o nosso argumento e mostrar que na verdade se então , mas não vamos precisar disso)

Temos então que , isso é é um operador linear em e que se denotarmos então como operadores.

Usando o teorema fundamental da álgebra podemos escrever e denotando o nosso teorema nos da que


Isso é toda função se escreve como onde isso é

Logo reduzimos o estudo da equação para o estudo da equação que é muito mais simples.

Note que usando propriedades da derivada é fácil ver que (é só usar a regra do produto e da cadeia) então temos que mas isso ocorre se e somente se é um polinômio de grau menor igual a , isso é


Para deduzir isso precisamos usar o teorema fundamental do cálculo para funções com contradomínio complexo, como eu disse isso não faz muita diferença é só escrever e usar que

e
Mas como eu disse essas coisas são conceitualmente delicadas se você está desconfortável com isso assuma o caso real.

Ou seja se e somente se é da forma


Isso significa que as funções geram o espaço das soluções de como essas funções são obviamente linearmente indepentes temos que elas formam uma base para o espaço de soluções que por sua vez tem dimensão

Agora usando nosso resultado anterior temos, graças à decomposição que obtivemos, que o espaço de soluções de será gerado pelas funções para e que são todas funções linearmente independentes, logo o espaço de soluções tem dimensão igual a o grau do polinômio .

C.Q.D

A referência para esse teorema foi o livro Linear Algebra do Hoffman e Kunze, mas mesmo nesse livro ele faz algumas afirmações que escondiam bastante coisa (como você vai perceber se comparar o que está escrito aqui com o que está no livro), mas esse não deixa de ser um dos melhores (dentre os que eu conheço, o melhor) livros de álgebra linear por aí.

Espero que tenham curtido o post.

May the math be with you.