Uma caracterização legal de conexidade

Para este post, é necessário saber um pouquinho de Topologia Geral, mas só o básico mesmo.

Sabemos que um espaço topológico é desconexo se existem dois abertos disjuntos e tais que . Obviamente, um espaço é conexo se não existem abertos com estas propriedades. Certamente, esta é uma definição bem simples, mas algumas demonstrações envolvendo conexidade são um tanto enroladas.

Neste post, quero exibir uma outra noção, equivalente à conexidade, mas que pode ser muito mais simples de se trabalhar em determinados contextos. Para exemplificar, vou demonstrar os diversos teoremas básicos envolvendo conexidade nesta nova roupagem.



No que segue, vamos denotar por um espaço topológico consistindo de dois pontos com a topologia discreta. Você pode pensar como sendo o conjunto com a topologia induzida da topologia usual de .

Teorema. Um espaço topológico é conexo se, e somente se, toda função contínua é constante. Equivalentemente, é desconexo se e, somente se, existe uma função contínua e sobrejetora .

A demonstração deste teorema é realmente trivial. Por exemplo, se é uma função contínua sobrejetora, então os abertos e são disjuntos e .

Curiosamente, apesar de ser fácil provar a equivalência, em geral é muito mais fácil provar teoremas utilizando esta nova "definição". A ideia é que codificamos a conexidade numa função contínua e, agora, podemos utilizar todos os teoremas sobre funções contínuas a disposição. Se ainda não ficou muito claro, veja os exemplos abaixo (especialmente o último!).

Os seguintes resultados são teoremas ou exercícios do Munkres.

EDIT Uma boa dica do Gabriel: tente fazer antes de ler. São exercícios legais e fáceis!

Teorema. Se , com cada subespaço conexo, e , então é conexo.

Demonstração.  Seja e uma função contínua. Como cada é conexo, então para todo . Logo é constante.

Teorema.  Seja um subespaço conexo de . Se então também é conexo.

Demonstração. Seja contínua. Então é contínua e, como é conexo, temos que é constante, digamos . Se , para algum , então é um aberto contendo que não contém nenhum ponto de , o que é absurdo pois .

Teorema.  Se é conexo e é contínua, então é conexo.

Demonstração. Por contra-positiva: se é desconexo, então existe contínua e sobrejetora e, portanto, é contínua e sobrejetora, i.e., é desconexo.

Teorema. Se e são conexos, então é conexo.

Demonstração. Por contra-positiva. Seja contínua e sobrejetora. Em particular, existem tais que , . Considere o ponto . Se , então a composição define uma função contínua e sobrejetora . Analogamente, se , obtemos uma função contínua e sobrejetora . Ou seja, ou são desconexos.   

Como você já deve ter percebido, as demonstrações foram bastante encurtadas, comparadas as demonstrações com a definição usual. Como já dito anteriormente, uUma explicação para isso, é que estamos usando algumas propriedades de funções contínuas, que fazem ``a parte suja'' do trabalho. No entanto, as proposições anteriores eram todas bastante triviais. Por fim, vamos mostrar um teorema um pouco menos trivial (que é um exercício do Munkres) em pouquíssimas linhas.

Teorema.  Seja um mapa quociente (i.e., é aberto se, e só se, é aberto em ). Se é conexo e as fibras são conexas para todo , então é conexo.

Demonstração. Seja uma função contínua. Por hipótese, é constante para todo . Como é mapa quociente, existe uma única contínua tal que . Como é conexo, então é constante e, portanto, é constante.

Na demonstração acima, utilizamos uma propriedade fundamental de mapas quocientes (veja o teorema 22.2 do Munkres).

Comentários finais

O último teorema é bastante útil, e pretendo fazer um post mostrando como usar ele para mostrar que possui duas componentes conexas.

Recentemente, me dei conta de que esta caracterização de conexidade tem tudo a ver com geometria algébrica. Mais especificamente, se denota a álgebra de funções contínuas de em , então é fácil ver (usando esta caracterização) que a conexidade também é equivalente ao fato de  não possuir idempotentes triviais (i.e., as funções constantes 0 e 1, neste caso). Ou seja, traduzimos a conexidade numa propriedade algébrica! Em Álgebra comutativa, também vale que um anel possui idempotentes não-triviais se, e somente se, é desconexo. Isto se generaliza para esquemas.