segunda-feira, 2 de fevereiro de 2009

Números, Euclides e uma demonstração

O presente artigo vai tratar de um assunto que acho muito interessante. Resumindo, é sobre como os gregos interpretavam os números. Depois, vou fazer a prova de um conhecido teorema. Mas farei do jeito antigo, que se encontra eternizado nos Elementos de Euclides. Boa leitura!



Os números

Você já tentou definir o que é um número? Se sim, é melhor começar a questionar sua sanidade deve ter percebido que é muito difícil. Basicamente, a noção que temos hoje de número é como um objeto matemático, abstrato, que serve para descrever ou representar uma quantidade ou medida. Depois disso, temos uma separação entre números naturais, inteiros, reais, etc. Para saber um pouco mais sobre números naturais, leia este post.

Definir o que é número é uma tarefa para poucos. Mas diversos matemáticos, filósofos e cientistas já se empenharam neste feito. Como exemplo, posso citar alguns:
  • Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton)
  • Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles)
  • Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant)
  • Número é uma coleção de unidades (Condorcet)
  • Número é a pluralidade medida pela unidade (Schuller, Natucci)

Contudo, a definição que vamos usar aqui, será a de Euclides. Mas antes, façamos uma pequena digressão sobre este importante matemático.

Euclides de Alexandria

Euclides de Alexandria foi um matemático grego que viveu por volta de 300 A.C. Chamado de Pai da Geometria, Euclides é mais conhecido por conseguir aglomerar quase todo o conhecimento matemático de sua época em uma coleção de 13 livros chamada de Elementos. Esta obra foi tão importante que permaneceu sendo a "bíblia" da geometria por quase 2000 anos. Mas Elementos não é um livro só sobre geometria, também possui as primeiras definições e teoremas daquilo que viria a se chamar Teoria dos Números. E é justamente sobre isso que vou tratar aqui.

Os números e Euclides

Observe que nas definições de números citadas acima, as 3 últimas são muito parecidas. Provavelmente, elas foram baseadas na definição de Euclides. No entanto, cabe notar que elas possuem uma pequena falha por não deixarem explicitas o que é unidade, mas Euclides lembrou-se disso.

Definição 1. Uma unidade é a virtude pela qual cada uma das coisas que existem são chamadas de um.

Definição 2. Um número é uma composição de unidades.

Se você teve dificuldade de interpretar a Definição 1, saiba que eu também tive. Talvez uma forma mais fácil de entendê-la seja assim:

Todas as coisas que chamamos de únicas tem algo em comum, o fato de serem um. Pois então, unidade é o nome que damos a essa "propriedade " especial.

A Definição 2 já é mais simples de ser entendida uma vez que você compreendeu bem a Definição 1. Em outras palavras, podemos dizer que um número é qualquer coleção, conjunto, composição que fazemos com as unidades.

Apesar dessa definição completamente bizarra abstrata de número, saiba que os Gregos tinham um jeito especial de interpretá-los. Como a álgebra deles não era muito desenvolvida [1], os gregos identificavam cada número como uma medida, e desenhavam um segmento de reta para representá-lo. Daí, surgem fatos interessantes. Por exemplo:

Dizemos que um número a divide b (ou que b é múltiplo de a), se na divisão de b por a, o resto é 0. Na matemática de Euclides, o conceito de "divide" e "múltiplo" passam a ser o conceito de "mede" e "medido". Observe que são definições equivalentes. Dado um segmento com 10 unidades (chamado de número 10), 2 mede 10, pois você pode enfileirar 5 segmentos de 2 unidades de forma a obter o 10.

Talvez isso tudo esteja meio confuso, então provemos um famoso teorema de Teoria dos Números usando o jeitinho método grego.

Um teorema sobre primos e sua prova

Antes de enunciar o teorema, vamos precisar da definição de número primo, mas vamos definí-lo da forma com a qual Euclides definiu.

Definição 3. Um número primo é aquele que só pode ser medido pela unidade [2].

Observe que esta definição primitiva não diverge da definição que temos hoje, apesar de ser um pouco diferente. Agora que definimos número primo, estamos prontos para o nosso teorema.

Teorema: Existem infinitos números primos.

Demonstração: Sejam a, b e c todos os primos conhecidos [3]. Provemos, então, que existem mais números primos que a, b e c.


Pegue o mínimo número DE medido por a, b e c [4]. Adicione a unidade EF em DE.


Então, DF é primo ou não.

Se DF é primo, nada mais precisa ser provado e, portanto, existem mais primos que a, b e c.

Agora, suponha que DF não é primo. Então, ele pode ser medido por algum número primo (em razão do Teorema Fundamental da Aritmética). Chamemos esse primo de p.

Temos que mostrar, que p não é nenhum dos outros 3 primos conhecidos. Faremos isso usando o que chamamos, em matemática, de prova por contradição ou redução ao absurdo. Então, supomos que ele seja a, b ou c.

Sabendo que a, b e c medem DE, então p também mede DE. Mas também mede DF e, consequentemente, mede EF [5]. Então p mede a unidade (isto é, EF), o que é absurdo pois, por hipótese, p é número primo [6].

Portanto, p não é o mesmo que a, b ou c. Além disso, por hipótese, p é primo. O que mostra que existem mais primos do que a, b e c. Como queríamos demonstrar. :-)

Comentários finais e um link

Sinto em não poder definir tudo precisamente para que a demonstração não haja falhas e fique melhor explicada, mas isto se tornaria impossível de colocar num post. Se você se interessou por essa demonstração e quer entender todos os seus detalhes, recomendo que leia os Elementos. Existe uma versão on-line MUITO boa (mas em inglês) que pode ser encontrada neste link. Os livros relativos a Teoria dos Números são os livros VII, VIII e IX.

Se você não gostou da demonstração por achá-la obsoleta, neste link é possível ver a demonstração que é mais utilizada hoje em dia.

Até.

Notas:

[1] Você pode achar que isso constiuiu um fator limitante para a matemática grega, mas na verdade, isso acabou por contribuir intensamente para o desenvolvimento de sua geometria.

[2] Observe que para Euclides, o que nós conhecemos como número 1, não era um número, era apenas uma unidade. Por isso, não podemos enquadrar o 1 como número primo. Também cabe notar que, na matemática moderna, o 1, apesar de ser número, não é primo!

[3] Hoje em dia não faríamos desta forma. Euclides supôs que todos os primos fossem apenas 3, na matemática moderna, suporíamos que existem n primos. Contudo esse detalhe não invalida a prova de Euclides, como diria um professor meu essa demonstração "serve para todo 3". Ou seja, 3 é um número arbitrário, poderia ter sido 5, 10, ou n.

[4] Em notação moderna, diríamos o mínimo múltiplo comum de a, b e c.

[5] Apesar de ser um passo bem intuitivo, se você não entendeu, pense assim: qual é o máximo divisor comum (mdc) entre dois número consecutivos? Mesmo sem ter a prova disso, você vai perceber que é sempre 1. Ou seja, sendo p um divisor de DE e DF (dois números consecutivos), p só pode ser 1, pois 1 é o mdc.

[6] Apesar de não ter enunciado a definição precisa aqui, temos por intuição que para um número medir outro, ele precisa ser menor que esse outro (o que hoje em dia chamaríamos de divisor próprio). O absurdo se constitui, então, no fato de que existe um número menor que a unidade.







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