sábado, 7 de março de 2009

Como os gregos sabiam medir a circunferência da Terra? - Parte 2

Como ficou prometido no post anterior, no artigo de hoje vou mostrar como foi que Eratóstenes obteve êxito em medir a circunferência do nosso planeta. Let's go!

Antes de mais nada, é preciso deixar claro que não conhecemos com precisão como Eratóstenes realizou este experimento. O que sabemos hoje é baseado em breves descrições deixadas por seus contemporâneos e sucessores.

Sobre os raios de sol serem "paralelos"


Vamos admitir aqui que os raios solares chegam paralelos à Terra. De fato, para todos os efeitos, podemos considerar tal fenômeno. Observe que dadas duas retas não paralelas (como raios de luz advindos de um ponto luminoso) quanto mais distante da fonte observamos, mais paralelas elas se "parecem". Observe o esquema abaixo.

Experimente tampar com a mão a parte da figura antes da linha vermelha da esquerda. As retas amarelas parecerão quase paralelas. Esse efeito se amplificaria ainda mais se a distância fosse maior.

O experimento de Eratóstenes


Eratóstenes sabia que durante o solstício de verão, quando o Sol está diretamente acima de Siena (A), as sombras desapareciam - elas se projetavam diretamente na direção do centro da Terra. Contudo, Eratóstenes também sabia que no mesmo dia e horário, as sombras em Alexandria (B) eram projetadas de uma forma diferente. Então, fixou uma haste (com altura conhecida) em (B).

Como expliquei anteriormente, podemos considerar que os raios de sol chegam paralelos à Terra, então, teríamos algo parecido com isso:


Note que em Alexandria (B) os raios de sol formam um ângulo a com a haste fixada. Medir esse ângulo não é difícil, podemos medir a sombra e fazer um triângulo retângulo com as medidas conhecidas (da haste e da sombra), depois podemos simplesmente medir o ângulo com um transferidor. De fato, Eratóstenes mediu esse ângulo e chegou a algo como 7.2º.

Mas, e agora? Temos um ângulo mas ele não parece servir para muita coisa. Não parece, mas a matemática está aí para isso. E se prolongássemos os segmentos de reta que representam os raios solares até o centro do nosso desenho da Terra? Veja: Um pouco de geometria euclidiana não faz mal a ninguém, certo? Esta situação é uma velha conhecida de todo mundo que já estudou matemática no colégio. Os ângulos x e a, são alternos internos, e, portanto, são iguais. Isto é, x=a.

A parte criativa acabou, agora só precisamos medir a distância de A a B. De fato, conta-se que Eratóstenes formou uma grande comitiva cuja missão era seguir em linha reta de Alexandria a Siena (passando por rios, montanhas, etc) para medir a distância entre as duas cidades. Foi medido então, uma distância de cerca de 800 Km (obviamente, não nesta unidade mas numa unidade chamada estádios 800 Km é aproximadamente 5 mil estádios).

Note que 7.2º dividido 360º é aproximadamente 1/50. Isto é, 7.2º representa uma fração de 1/50 da circunferência total da Terra. Mas a medida do arco de 7.2º é de 800 Km. Portanto, para descobrir a medida total da terra, basta multiplicar 800 Km por 50. É uma regra de 3 simples, verifique.

Após feita a multiplicação, verificamos, então, que a Terra tem aproximadamente 40.000 Km de circunferência total.

Achei no YouTube, um videozinho com a explicação (bem rápida e em inglês). A animação é muito bem feita, confira clicando aqui.

Até.





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