sábado, 8 de maio de 2010

Teorema de Wilson

Olá galerinha do LeGauss.

Para vocês que gostam de House vou provar nesse post o famoso teorema de Wilson! xD
Se você não achou a piada engraçada... O problema é seu. =P

Voltando à matemática o teorema de Wilson diz que um número é primo se e somente se:


Então vamos à prova!

Demonstração:

Para provar a ida nós vamos assumir que é primo e vamos usar o resultado da teoria dos números de que com primo é um corpo. Sabendo um pouco (ou muito) de teoria de anéis e sabendo que e que é um ideal maximal temos que é um corpo.

Vamos olhar então para o seguinte polinômio:


Note que todos os elementos do grupo multiplicativo são raizes desse polinômio (pelo pequeno teorema de Fermat, ou pelo teorema de Lagrange), mas é um corpo e pode ter no máximo raizes em . Logo como essas são todas as raizes de em .

Mas sabemos que o termo constante do polinômio é igual a multiplicação de todas as raizes já que é par (exceto para ), temos então que:


Note que poderiamos ter um problema com o sinal, já que só sabemos que isso vale quando o polinômio tem grau par, se tivesse grau impar teriamos que , mas como o único primo par é e em
o resultado segue para todo primo.

A volta provaremos por contrapositiva. Suponha não primo. Então existe tal que .
Obviamente .
Suponha por absurdo que:


Mas e o que é absurdo pois .

É isso. espero que tenham curtido ;^)





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