Olá galerinha do LeGauss.
Para vocês que gostam de House vou provar nesse post o famoso teorema de Wilson! xD
Se você não achou a piada engraçada... O problema é seu. =P
Voltando à matemática o teorema de Wilson diz que um número
é primo se e somente se:
Então vamos à prova!
Para vocês que gostam de House vou provar nesse post o famoso teorema de Wilson! xD
Se você não achou a piada engraçada... O problema é seu. =P
Voltando à matemática o teorema de Wilson diz que um número
é primo se e somente se:Então vamos à prova!
Demonstração:
Para provar a ida nós vamos assumir que é primo e vamos usar o resultado da teoria dos números de que 
com 
primo é um corpo. Sabendo um pouco (ou muito) de teoria de anéis e sabendo que 
e que 
é um ideal maximal temos que é um corpo.
Vamos olhar então para o seguinte polinômio:
Note que todos os elementos do grupo multiplicativo
são raizes desse polinômio (pelo pequeno teorema de Fermat, ou pelo teorema de Lagrange), mas 
é um corpo e 
pode ter no máximo 
raizes em . Logo como 
essas são todas as raizes de em .
Mas sabemos que o termo constante do polinômio é igual a multiplicação de todas as raizes já que
é par (exceto para 
), temos então que:
Note que poderiamos ter um problema com o sinal, já que só sabemos que isso vale quando o polinômio tem grau par, se tivesse grau impar teriamos que
, mas como o único primo par é 
e em 
o resultado segue para todo primo.
A volta provaremos por contrapositiva. Suponha não primo. Então existe 
tal que 
.
Obviamente
.
Suponha por absurdo que:
Mas e 
o que é absurdo pois .
É isso. espero que tenham curtido ;^)
Para provar a ida nós vamos assumir que
é primo e vamos usar o resultado da teoria dos números de que com primo é um corpo. Sabendo um pouco (ou muito) de teoria de anéis e sabendo que e que é um ideal maximal temos que é um corpo.Vamos olhar então para o seguinte polinômio:
Note que todos os elementos do grupo multiplicativo
são raizes desse polinômio (pelo pequeno teorema de Fermat, ou pelo teorema de Lagrange), mas é um corpo e pode ter no máximo raizes em . Logo como essas são todas as raizes de em .Mas sabemos que o termo constante do polinômio é igual a multiplicação de todas as raizes já que
é par (exceto para ), temos então que:Note que poderiamos ter um problema com o sinal, já que só sabemos que isso vale quando o polinômio tem grau par, se tivesse grau impar teriamos que
, mas como o único primo par é e em o resultado segue para todo primo.A volta provaremos por contrapositiva. Suponha
não primo. Então existe tal que .Obviamente
.Suponha por absurdo que:
Mas
e o que é absurdo pois .É isso. espero que tenham curtido ;^)
11 comentários:
Nem assisto séries, mas me lembrei do "Dennis, O Pimentinha": Senhor WIIIILLLSON!! (nostalgia pura)
Conheço uma demonstração um pouco mais... infantil, digamos assim, da ida do teorema:
Z/p é um corpo. Neste quociente, tanto p-1 quanto 1 são seus próprios inversos. Além disso, como p é primo, p-1 é par. Como na expressão (p-1)!=(p-1)(p-2)...1 aparecem todos os resíduos módulo p, então podemos reordenar este produto pareando cada elemento com seu inverso, e assim vamos limpando todos os números, sobrando apenas p-1 = -1.
Essa demonstração é inocente mas vc não deixou mto claro que na verdade p-1 e 1 são os únicos elementos de ordem 2... o que é verdade porque Z/p é corpo. Essa ida é mais rápida mas eu quis usar o meu argumento pq ele também vale quando vc quer provar que a multiplicação de todo elemento não nulo de F_{p^d} (corpo finito de ordem p^d) dá -1
E é exatamente o mesmo raciocínio.
Sim, é verdade que eu não deixei aquilo claro (pra falar a verdade eu esqueci hehe) mas é facilmente justificável, mas fica aí pra quem quiser. ;-)
É um raciocínio bem legal (na verdade na primeira vez que eu fiz a ida eu fiz assim) mas tem esse detalhe de garantir que os inversos são distintos pra vc poder organizar eles etc... =P
Eu gosto de enunciar o teorema na seguinte forma: (n-1)! mód n = -1 se n é primo; 2 se n = 4; 0 caso contrário.
Ah, citando Tom Hanks em "O Náufrago":
WIIIIILSOOOOOON!!
Hm... Nunca tinha parado pra analisar todos os casos xD
Eu to sem tempo no momento mas vou pensar depois, se a prova for curta eu posto no final os outros casos =P
Também nunca tinha pensado nos outros 2 casos, mas é bem direto.
Ah então eu pensei sobre os outros casos, mas não vou colocar no post é simples mesmo, mas não achei imediato, tem que separar bem os casos de como seu número se decompõe.
Não esquecer das potências de primos tals, que você tem que separar potências de 2 e dos outros primos mas é isso =P
Tem uma demonstração também que foi apresentada por Stern, mas utiliza a expansão de Maclaurin, é bem mais chata de demonstrar, mas também é válida...
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