Vazio impertinente

Este blog tá cheio de computação e coisas random, vamos botar um pouco de matemática aqui ;-).

Neste post tratarei um pouco sobre Teoria dos Conjuntos. Assume-se que o leitor conheça previamente um pouco sobre o assunto. Para quem quiser se aprofundar um pouco mais, recomendo esta página de um professor da UFSCar.

Recentemente, o Thiago (Yoko) me propôs o seguinte desafio:

"O vazio pertence ao vazio?"

Respondi prontamente que não, apesar de não ter pensado muito bem. A resposta estava correta, mas vamos entender os porquês.

O conceito de pertinência e continência

Nossa noção intuitiva de conjunto nos diz que conjunto é como uma coleção de objetos (que são chamados de elementos) [1]. Dizemos que se a é um elemento e está no conjunto A, então a pertence a A. Em notação matemática,

É preciso ressaltar que este conceito é frequentemente (trema suprimido em razão da reforma ortográfica ;P) confundido com a relação de contido ou contém. Quando falamos de continência, estamos tratando de dois conjuntos. Define-se assim: um conjunto A está contido num conjunto B (em notação matemática, ) se, e somente se, para todo elemento de A, este elemento também está em B.

Conjuntos como elementos

O fato importante aqui é que conjuntos podem ser tratados como elementos. Exemplo:

Seja A um conjunto tal que . Podemos, então, listar os elementos de A como: .
É fácil perceber que também é um conjunto por si só e pertence a A, isto é, . Voltando à nossa definição intuitiva, ter um conjunto no qual outros conjuntos são elementos, é como se você tivesse uma coleção de coleções.

O vazio

O vazio é definido como o conjunto que não possui nenhum elemento e sua notação é: . Além disso, existe um resultado que mostra que o vazio está contido em qualquer outro conjunto. Note que o vazio é um conjunto, e por tanto, pode ser tratado como um elemento. Apesar da professora do colégio ter dito que não existe, existe sim!

E então, o vazio pertence ao vazio?

Vejamos: o vazio, então, é um conjunto mas que está sendo tratado como um elemento. Se o vazio pertencesse ao vazio, estaríamos provocando uma contradição, pois o vazio é definido como o conjunto que não possui nenhum elemento. Seria o mesmo que afirmar que . Note que o primeiro é o vazio, o segundo é um conjunto que tem um elemento, o vazio.

Portanto, não tenha medo, o vazio não pertence ao vazio. Mas cuidado, o vazio está contido no vazio. =)

Esse é um ótimo exemplo de uma questão que foge à nossa intuição. É por isso que o formalismo matemático existe. Nem sempre nossa intuição está correta, portanto é preciso algo para nos manter firmes na direção certa.

Até.

Notas:

[1] Lembre-se de que esta é uma noção intuitiva!