Um Limite Legauss

Certos limites não são tão claros assim de se enxergar se você não é o Ramanujan. =P
E é nesse sentido que esse limite é legauss.
Ele foi retirado do livro Curso de Análise vol. 1 do Elon Lages publicado pelo IMPA.
Bem vamos ao que interessa...


Vamos definir da seguinte forma:



e .

Vou afirmar que para todo . [1]

Para isso vamos ter que mostrar que fixado e dado , podemos achar tal que:



Bem, perceba que o conjunto é finito. [2]

Veja agora que para cada fixado, as frações decompõe a reta em intervalos justapostos de comprimento . Seja o maior inteiro tal que . Como é finito existe , a maior das frações para todo . Ou seja essa é a maior fração menor que com denominador em . Analogamente podemos achar a menor fração maior que com denominador em .

Conseguimos então o seguinte intervalo:

Onde, salvo possivelmente , nenhum número racional pode ter denominador em .

Assim, tomando:

vemos que

Q.E.D.!

Sim, eu sei que é bem complicado, mas o argumento não deixa de ser bem legal (para aqueles que leram xD).

P.S.

[1] Podemos considerar o limite desta função para qualquer número real, pois qualquer real pertence ao fecho dos racionais.
[2] Pois é um conjunto de números naturais limitado superiormente.