Médias aritmética e geométrica

Este é um resultado famoso e há uma quantidade enorme de demonstrações diferentes para este fato. Aqui apresento uma delas, talvez uma das mais simples.


Teorema (Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica). Dados reais positivos , vale a seguinte desigualdade:

Antes, vamos provar um lema cujo teorema acima é consequência imeditada.

Lema. Sejam reais positivos. Se , então .

Prova. A prova é por indução. O caso é trivial. Suponha, então, . Sem perda de generalidade, podemos assumir e . Por exemplo, se existe algum diferente de 1, ele tem que ser maior ou menor que 1, se ele for maior que 1, deve existir algum outro menor do que 1 para ``contrabalancear'', já que o produto de todos eles é 1. Agora, agrupe o produto da seguinte forma:

Pela hipótese de indução, vale que . Resta mostrar que , pois assim,

Agora basta notar que

Mas isto é sempre satisfeito pois e .

O teorema agora segue triviamente, bastando tomar

para todo .

Até.