O volume da bola e esfera unitária n-dimensional

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um resultado meio bizarro e que o único requisito para seu entendimento é um pouco de cálculo III (só a ideia de integrais múltiplas) e uma boa visão geométrica das coisas que vão acontecer.

Vamos determinar o volume da bola unitária e a área da esfera unitária .

Vamos à prova.

Notações:



Esfera de raio em

Área de

Área da esfera unitária em

Não confunda com !

Área e volume são nomes que funcionavam bem em mas na verdade estamos falando da medida de objetos k-dimensionais, para uma dimensão k-qualquer, mas vou continuar falando, para ajudar na compreensão do texto, da área de e do volume de .

Comecemos.

Seja , . Vamos tentar tirar algumas coisas da integral dessa função sobre .

Note que:



Ou seja estamos olhando para as integrais dessa função sobre as cascas esféricas de raio deixando variar de a .

Como nossa é constante em cada pois ela só depende de temos que:



As coisas estão começando a ficar mais bonitinhas. =]

Veja agora que .
Você pode enxergar isso de duas formas.

Como a razão de semelhança, pois a área da esfera (- dimensional) de raio é só a área da esfera unitária multiplicada pela razão de semelhança.
Como o raio é esticado pela razão .
A "coisa" - dimensional tem que ser multiplicada por .

Se isso não te convence, você pode formalizar esse pensamento pois essa razão de semelhança na verdade vai ser o jacobiano da transformação de mudança das variáveis cartesianas para as variáveis polares e depois de mais trabalho você vai chegar na mesma coisa que eu disse antes.

Então temos que:



Podemos calcular se em vez de integrarmos em , integrarmos em a bola de raio e fazermos .

Primeiramente temos:



Coisa que provei nesse post.

Além disso olhemos para a famosa função Gamma de Euler:



Ela parece com a expressão que tínhamos. Fazendo uma substituição Achamos que:



Assim temos:



Temos que:



Logo:



Calculando o volume da bola unitária:



E acabamos!
Note que tendo essas áreas e volume conseguimos calcular a área e o volume de uma esfera/bola de raio qualquer usando a razão de semelhança (jacobiano).

Espero que tenham curtido.
Até a próxima.

Notas:

[1] Eu não falei nada sobre a convergência de (note que ela é uma integral imprópria e poderia divergir) mas ela converge . Quem sabe não falo um pouco dela em um post futuro.