A série 1/p diverge

Olá galerinha do LeGauss.

Vou postar hoje um resultado muito legal e importante da teoria de números que nos fala um pouco sobre a "densidade" dos números primos entre os números naturais, se é que isso faz sentido assim solto.

O que quero dizer é: Sabemos que a série diverge, mas que por exemplo a série converge. Ou seja em certo sentido ao deixarmos só os números naturais que são quadrados nos denominadores da nossa série, nós tiramos muitos números, tantos, que a nossa série antes divergente agora converge.

O teorema que vou provar agora mostra que deixar só os primos nos denominadores ainda deixa nosso conjunto de números gordinho. hehe

Teorema:

A série com percorrendo todos os números primos, diverge.

Preliminares:

Para provar esse teorema vou utilizar certas coisas que não vou provar, por sorte algumas delas tem aqui no nosso blog. o/

[1] Existem infinitos primos! O Euclides, malandrão que era, provou isso, por sorte o Tiago já fez um post comentando a prova do Euclides e com uma prova diferente e muito legal usando teoria de grupos. Veja o post aqui.

[2] A série diverge, se você não sabe isso ainda veja aqui nesse wiki que tá bem explicadinho.

[3] A série converge. Em um post comentei a convergência dela, mas fiz mais que isso eu calculei para onde ela convergia, vale a pena ver se ainda não viu. Veja o post aqui.

[4] A fórmula infinita da PG. .

[5] O último fato é a expansão de Taylor da função . Na verdade a gente obtém essa fórmula expandido em taylor a função ao redor de e fazendo uma mudança de variáveis. A fórmula é.


Vamos à demonstração:

Demonstração:

Sejam os primos menores que , definimos .
Como , vemos que


Onde as -tuplas cobrem todas as combinações de naturais (incluindo o zero).

Vemos também em particular que


Logo, quando , . E isso é ainda outra prova de que existem infinitos primos.

Agora, vamos olhar para .


Agora precisamos notar que . Essa última desigualdade não é tão imediata de enxergar teste com o primo igual a e e você vai ver o porque daquele que apareceu na desigualdade final.

Então temos



Sabemos que a série converge o que nos da a desigualdade


Com uma constante arbitrária (a desigualdade valendo para qualquer ). Temos que nossa série é maior que uma coisa ilimitada, logo ela é também ilimitada.

E isso acaba nossa demonstração.

Espero que tenham curtido.
Abraço.

Referências:

Ireland e Rosen - A Classical Introduction to Modern Number Theory