Olá galerinha do LeGauss.
Vou postar hoje um resultado muito legal e importante da teoria de números que nos fala um pouco sobre a "densidade" dos números primos entre os números naturais, se é que isso faz sentido assim solto.
O que quero dizer é: Sabemos que a série diverge, mas que por exemplo a série converge. Ou seja em certo sentido ao deixarmos só os números naturais que são quadrados nos denominadores da nossa série, nós tiramos muitos números, tantos, que a nossa série antes divergente agora converge.
O teorema que vou provar agora mostra que deixar só os primos nos denominadores ainda deixa nosso conjunto de números gordinho. hehe
Teorema:
Vou postar hoje um resultado muito legal e importante da teoria de números que nos fala um pouco sobre a "densidade" dos números primos entre os números naturais, se é que isso faz sentido assim solto.
O que quero dizer é: Sabemos que a série diverge, mas que por exemplo a série converge. Ou seja em certo sentido ao deixarmos só os números naturais que são quadrados nos denominadores da nossa série, nós tiramos muitos números, tantos, que a nossa série antes divergente agora converge.
O teorema que vou provar agora mostra que deixar só os primos nos denominadores ainda deixa nosso conjunto de números gordinho. hehe
Teorema:
A série com percorrendo todos os números primos, diverge.
Preliminares:
Para provar esse teorema vou utilizar certas coisas que não vou provar, por sorte algumas delas tem aqui no nosso blog. o/
[1] Existem infinitos primos! O Euclides, malandrão que era, provou isso, por sorte o Tiago já fez um post comentando a prova do Euclides e com uma prova diferente e muito legal usando teoria de grupos. Veja o post aqui.
[2] A série diverge, se você não sabe isso ainda veja aqui nesse wiki que tá bem explicadinho.
[3] A série converge. Em um post comentei a convergência dela, mas fiz mais que isso eu calculei para onde ela convergia, vale a pena ver se ainda não viu. Veja o post aqui.
[4] A fórmula infinita da PG. .
[5] O último fato é a expansão de Taylor da função . Na verdade a gente obtém essa fórmula expandido em taylor a função ao redor de e fazendo uma mudança de variáveis. A fórmula é.
Vamos à demonstração:
Demonstração:
Sejam os primos menores que , definimos .
Como , vemos que
Onde as -tuplas cobrem todas as combinações de naturais (incluindo o zero).
Vemos também em particular que
Logo, quando , . E isso é ainda outra prova de que existem infinitos primos.
Agora, vamos olhar para .
Agora precisamos notar que . Essa última desigualdade não é tão imediata de enxergar teste com o primo igual a e e você vai ver o porque daquele que apareceu na desigualdade final.
Então temos
Sabemos que a série converge o que nos da a desigualdade
Com uma constante arbitrária (a desigualdade valendo para qualquer ). Temos que nossa série é maior que uma coisa ilimitada, logo ela é também ilimitada.
E isso acaba nossa demonstração.
Espero que tenham curtido.
Abraço.
Referências:
Ireland e Rosen - A Classical Introduction to Modern Number Theory
Para provar esse teorema vou utilizar certas coisas que não vou provar, por sorte algumas delas tem aqui no nosso blog. o/
[1] Existem infinitos primos! O Euclides, malandrão que era, provou isso, por sorte o Tiago já fez um post comentando a prova do Euclides e com uma prova diferente e muito legal usando teoria de grupos. Veja o post aqui.
[2] A série diverge, se você não sabe isso ainda veja aqui nesse wiki que tá bem explicadinho.
[3] A série converge. Em um post comentei a convergência dela, mas fiz mais que isso eu calculei para onde ela convergia, vale a pena ver se ainda não viu. Veja o post aqui.
[4] A fórmula infinita da PG. .
[5] O último fato é a expansão de Taylor da função . Na verdade a gente obtém essa fórmula expandido em taylor a função ao redor de e fazendo uma mudança de variáveis. A fórmula é.
Vamos à demonstração:
Demonstração:
Sejam os primos menores que , definimos .
Como , vemos que
Onde as -tuplas cobrem todas as combinações de naturais (incluindo o zero).
Vemos também em particular que
Logo, quando , . E isso é ainda outra prova de que existem infinitos primos.
Agora, vamos olhar para .
Agora precisamos notar que . Essa última desigualdade não é tão imediata de enxergar teste com o primo igual a e e você vai ver o porque daquele que apareceu na desigualdade final.
Então temos
Sabemos que a série converge o que nos da a desigualdade
Com uma constante arbitrária (a desigualdade valendo para qualquer ). Temos que nossa série é maior que uma coisa ilimitada, logo ela é também ilimitada.
E isso acaba nossa demonstração.
Espero que tenham curtido.
Abraço.
Referências:
Ireland e Rosen - A Classical Introduction to Modern Number Theory
Um comentário:
Muito boa a demonstração! Nunca tinha visto ela usando logaritmo!
Muito o bom site!
Grande abraço
Professor Luiz Fernando
Professor de Aula Particular de Matemática
Pós-graduando em Matemática UFMG
Tel: 03131-8653-4459
www.solucaomatematica.com.br
Postar um comentário