A arte de simplificar um problema

Uma das peculiaridades que mais me encantam na Matemática são as soluções criativas e simples para algum problema aparentemente complicado. Não que este atributo seja um privilégio da Matemática, em diversas outras áreas do conhecimento insights são não apenas desejáveis como essenciais. Sendo assim, desejo exemplificar o que acabei de mencionar com um problema simples, retirado de uma famosa anedota entre os matemáticos. Se você está curioso, a anedota fica para o fim deste texto.



O problema

Dois trens, a uma distância inicial de 200 quilômetros, movem-se um em direção ao outro, ambos com velocidade constante de 50 quilômetros por hora. Uma mosca, começando na frente de um dos trens, voa até atingir o outro trem e depois repete o mesmo movimento (voltando para o primeiro trem, e depois indo para o segundo, etc) a uma velocidade constante de 75 quilômetros por hora, até os trens se chocarem. Qual é a distância total que a mosca percorreu?

1. Solução Direta

Façamos um pouco mais geral. Seja a distância inicial entre os trens, a velocidade dos trens e a velocidade da mosca. Seja o tempo decorrido após o primeiro vôo da mosca, i.e. após ela ter saído do primeiro trem e ter chegado ao segundo. Então, (pensando a posição inicial do primeiro trem como e a do segundo como no eixo horizontal)

Assim, a mosca percorreu

Além disso, agora os trens se encontram a uma distância . Mais geralmente, após o vôo da mosca, temos

Substituindo na última expressão,

Logo e, portanto, a mosca percorreu uma distância total de

Substituindo nossos valores, chegamos em quilômetros.


2. Solução Criativa

Ora, como ambos estão a uma velocidade de 50 quilômetros por hora, os trens se chocam após 2 horas. Nestas duas horas, a mosca voou sem parar, e portanto percorreu uma distância total de quilômetros.

A anedota

Conta-se que o matemático John Von Neumann era uma calculadora em pessoa, realizava cálculos longos e difíceis mentalmente numa fração de segundos. Certa vez, propuseram este problema para Von Neumann que rapidamente respondeu ``150 quilômetros"! Então a pessoa que propôs o problema disse: ``Estranho, normalmente, todo mundo tenta somar a série infinita''. Foi então que Von Neumann respondeu: ``Como assim, estranho? Foi exatamente isto que eu fiz!''.