Uma aplicação inusitada do Teorema 90 de Hilbert

Quem já estudou um pouco de Teoria de Galois, talvez já tenha ouvido falar sobre o Teorema 90 de Hilbert. Se você nunca ouviu falar, fique calmo que o teorema é muito simples. Este teorema, que é útil em alguns aspectos dentro da Teoria de Galois, pode ser aplicado de uma maneira muito surpreendente num problema de matemática elementar. Mais especificamente, podemos usá-lo para obter a forma parametrizada das triplas pitagóricas!


É preciso que você saiba um pouquinho de Teoria de Corpos para entender este texto. Antes de enunciar o teorema mencionado acima, precisamos de uma definição. Vamos assumir, daqui em diante, que todos os corpos mencionados têm característica 0, i.e., são extensões de .


Definição. Seja uma extensão finita e Galois de corpos e sejam todos os automorfismos de que fixam . Dado um elemento , definimos sua norma (sobre ) como

Por exemplo, suponha e . Os automorfismos de sobre são nada mais que a identidade e a conjugação . Então, dado um elemento , temos que .

Note que, neste caso, a norma de é um elemento de . Isto não é mera coincidência. Esta propriedade é um dos motivos pelo qual esta função é muito útil. Como a demonstração é bem simples, vou fazer logo abaixo.

Lema. Seja uma extensão finita e Galois de corpos e sejam todos os automorfismos de que fixam . Então, dado , temos que .

Demonstração. Os automorfismos são nada mais que os elementos do grupo de Galois . É um fato geral da Teoria de Grupos que, dado um grupo e um elemento , o mapa  apenas permuta os elementos de . Logo, dado , temos que

onde é a permutação induzida por . Isto quer dizer que é fixado por todo automorfismo de sobre e, portanto (Teorema Fundamental), deve pertencer a .

Observação. Estou assumindo aqui que as extensões são Galois, tanto na definição quanto no lema. É importante ressaltar que a definição e o lema funcionam ainda pra qualquer extensão separável de corpos (neste caso, não consideramos mais os elementos do grupo de Galois, e sim as imersões de no fecho algébrico de ). No entanto, a demonstração não é tão curta quanto esta.

Ok, então o que diz, afinal, o Teorema 90 de Hilbert? Basicamente, este teorema caracteriza os elementos de norma 1 numa extensão cíclica (isto é, uma extensão Galois cujo grupo de Galois é cíclico).


Teorema 90 de Hilbert. Seja uma extensão finita cíclica e um gerador de . Seja . Então

Observe que a implicação é trivial. Não vou demonstrar este teorema aqui, mas você pode encontrar a demonstração em qualquer bom livro de Álgebra (e.g. Lang) que contenha Teoria de Galois. Isto é o bastante, vamos à aplicação inusitada.

Teorema. Os inteiros satisfazem a equação se, e somente se, existem inteiros e tais que é proporcional a .

Demonstração. Utilizaremos a extensão . O grupo de Galois tem dois elementos e é gerado pela conjugação . Seja

Como

temos que existe tal que . Tome tal que , digamos , com . Então

Ou seja, e e, portanto, é proporcional a .

Por hoje é só. Até.