quarta-feira, 10 de fevereiro de 2010

"Uma irredutibilidade nem tão simples assim" revisitado

Há um tempo atrás, o Gabriel escreveu um post sobre a irredutibilidade de polinômios ciclotômicos da forma


onde é um número primo. Neste post ofereço uma demonstração alternativa e bem mais curta deste fato.

Nesta demonstração também utilizaremos alguns fatos que o Gabriel explicou no post dele, como o Critério de Eisenstein e o automorfismo , por isso recomendo que leia ele antes. Vamos lá.

Temos




Aplicando o automorfismo, temos um novo polinômio




Ou seja,



Note que para todo e . Pelo Critério de Eisenstein, é irredutível. Logo, é irredutível.

Até.

Referência: Algebraic Theory of Numbers, Pierre Samuel.




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