LeGauss: "Uma irredutibilidade nem tão simples assim" revisitado

quarta-feira, 10 de fevereiro de 2010

"Uma irredutibilidade nem tão simples assim" revisitado

Há um tempo atrás, o Gabriel escreveu um post sobre a irredutibilidade de polinômios ciclotômicos da forma

$f(X) = X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X + 1 \in \mathbb{Z}[X]$

onde

é um número primo. Neste post ofereço uma demonstração alternativa e bem mais curta deste fato.

Nesta demonstração também utilizaremos alguns fatos que o Gabriel explicou no post dele, como o Critério de Eisenstein e o automorfismo $X \mapsto X+1$ , por isso recomendo que leia ele antes. Vamos lá.

Temos

$f(X) = X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X + 1 = \frac{X^p -1}{X-1}$

Aplicando o automorfismo, temos um novo polinômio

$g(X) = f(X+1) = \frac{(X+1)^p -1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{p-1}X^{p-2} + \cdots + \binom{p}{1}$

Ou seja,

$g(X) = X^{p-1} + \sum\limits_{i=p-1}^{1}\binom{p}{i}X^{i-1}$

Note que $p \mid \binom{p}{i}$ para todo $i=1,\ldots,p-1$ e $p^2 \nmid \binom{p}{1}$ . Pelo Critério de Eisenstein, g(X)

é irredutível. Logo, f(X)

é irredutível. Q.E.D.

Até.

Referência: Algebraic Theory of Numbers, Pierre Samuel.

Um comentário:

Gabriel Martins disse...: Nossa, pior é que essa identidade é super comum... Mas ainda estou começando a galgar os degraus da álgebra, pelo menos eu consegui mostrar huahuahuaha

Sem contar que aprendi umas coisas legais demonstrando do outro jeito (tipo o nome da relação de Stifel) =P; 10 de fevereiro de 2010 às 17:48

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