Há um tempo atrás, o Gabriel escreveu um post sobre a irredutibilidade de polinômios ciclotômicos da forma
![f(X) = X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X + 1 \in \mathbb{Z}[X]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sYFg8jHE2v055Y0iAaCTzG67QAGDroAEc9DliH4G6FyeHPWn6-4DypFNN5omKh-4eaLF8Yf-3X5xsi_Ih6mfgkgwiitrMfQD_kd9W3-HA7NcYe-yGEkz0Qa23ma2TBH2sz_AKQ2FuoQZaPM_JBwkxi3ZVnh_jC3gBMCVijylFwgcU7vhXzCae0nADMXG-ylzJX8g9D5Yxvz_uoc20=s0-d)
onde
é um número primo. Neste post ofereço uma demonstração alternativa e bem mais curta deste fato.
Nesta demonstração também utilizaremos alguns fatos que o Gabriel explicou no post dele, como o Critério de Eisenstein e o automorfismo
, por isso recomendo que leia ele antes. Vamos lá.
Temos

Aplicando o automorfismo, temos um novo polinômio

Ou seja,

Note que
para todo
e
. Pelo Critério de Eisenstein,
é irredutível. Logo,
é irredutível. 
Até.
Referência: Algebraic Theory of Numbers, Pierre Samuel.
onde
Nesta demonstração também utilizaremos alguns fatos que o Gabriel explicou no post dele, como o Critério de Eisenstein e o automorfismo
Temos
Note que
Até.
Referência: Algebraic Theory of Numbers, Pierre Samuel.
Um comentário:
Nossa, pior é que essa identidade é super comum... Mas ainda estou começando a galgar os degraus da álgebra, pelo menos eu consegui mostrar huahuahuaha
Sem contar que aprendi umas coisas legais demonstrando do outro jeito (tipo o nome da relação de Stifel) =P
Postar um comentário