Há um tempo atrás, o Gabriel escreveu um post sobre a irredutibilidade de polinômios ciclotômicos da forma
![f(X) = X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X + 1 \in \mathbb{Z}[X]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_utKIgjVlbBcp9B4RJbI2ZEtPBykpfrfUfgCKsz9UedzYu22Pk4lObzHj04d2SWpSwtYQ6qlYO81Kqn329oOr3DAbnYUHqWGLORQWC4P4lwg_1Aub0mx5yDsJidJ3YrkWKD6FQSdr72dtDJPJK1tm7jqLqLg1MdsVBvZJDzA8piDXUDybQDzG7cYIygU7KxuNZSCFku52nR7Pi7R40=s0-d)
onde
é um número primo. Neste post ofereço uma demonstração alternativa e bem mais curta deste fato.
Nesta demonstração também utilizaremos alguns fatos que o Gabriel explicou no post dele, como o Critério de Eisenstein e o automorfismo
, por isso recomendo que leia ele antes. Vamos lá.
Temos

Aplicando o automorfismo, temos um novo polinômio

Ou seja,

Note que
para todo
e
. Pelo Critério de Eisenstein,
é irredutível. Logo,
é irredutível. 
Até.
Referência: Algebraic Theory of Numbers, Pierre Samuel.
onde
Nesta demonstração também utilizaremos alguns fatos que o Gabriel explicou no post dele, como o Critério de Eisenstein e o automorfismo
Temos
Note que
Até.
Referência: Algebraic Theory of Numbers, Pierre Samuel.
Um comentário:
Nossa, pior é que essa identidade é super comum... Mas ainda estou começando a galgar os degraus da álgebra, pelo menos eu consegui mostrar huahuahuaha
Sem contar que aprendi umas coisas legais demonstrando do outro jeito (tipo o nome da relação de Stifel) =P
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