sexta-feira, 6 de agosto de 2010

O teorema do Fecho-Complemento de Kuratowski

Olá galerinha do LeGauss!

Vou postar hoje a demonstração de um teorema muito interessante e que só exige um pouquinho de topologia e menos ainda de álgebra para entender. =P

O teorema é o seguinte:

Seja um espaço topológico e . É possível obter no máximo conjuntos diferentes tomando fechos e complementos de . Além disso existe um espaço topológico onde esse limite é atingido.

Para a prova vamos considerar o fecho e o complemento como operadores agindo no conjunto de subconjuntos de . Vamo denotá-los por


Repare (ou verifique) que podemos escrever o interior de utilizando essa notação. (o interior polui o ar? \piadaruimmode on).

É fácil ver também que o conjunto de todos os operadores gerados por e com a operação de composição é um monoide, pois a composição é uma operação associativa e a identidade (o operador identidade) está nesse conjunto pois , chamaremos esse monoide de e costumamos chamá-lo de monoide de Kuratowski.

É possível induzir uma ordem parcial nesse monoide. Dizemos para que , se para todo temos . Além disso chamamos um operador de isotônico se (note que o operador fecho é isotônico).

Depois dessas ideias vamos agora à demonstração de verdade.

Demonstração:

Como e , os elementos em são da forma

e

Isso é, eles não vão ter nenhum fator nem com potência maior que , pelas relações que mencionei, além disso eles se encaixam em um dos quatro grupos, começa em e termina em , começa em e termina em , etc.

Queremos mostrar que e isso nos dará o limite superior de , pois os operadores restantes serão


Note que , pois é o interior de . Como é isotônico, segue que . Para a desigualdade contrária repare que , pois é o interior de . Logo . Mas então temos e . Isso prova que . Como queríamos.

Para terminar a prova basta mostrar um conjunto num espaço topológico tal que todos aqueles operadores geram conjuntos distintos quando agem sobre ele. Nesse caso o conjunto


Em com a topologia usual, funciona.

Bizarro não? Esse teorema deixou muita gente pensativa a respeito do porquê desse número aparentemente aleatório. Muita coisa foi feita em direção a saber quando espaços topológicos possuem um conjunto que realiza esse número, etc.
O artigo que coloco aqui embaixo (que foi de onde eu tirei a demonstração) fala sobre muitas coisas mesmo a respeito desse problema.

É isso espero que tenham curtido!
Até

Referências:

B. Gardner, M. Jackson - Kuratowski Closure-Complement Theorem





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