Olá galerinha do LeGauss!
Vou postar hoje a demonstração de um teorema muito interessante e que só exige um pouquinho de topologia e menos ainda de álgebra para entender. =P
O teorema é o seguinte:
Vou postar hoje a demonstração de um teorema muito interessante e que só exige um pouquinho de topologia e menos ainda de álgebra para entender. =P
O teorema é o seguinte:
Sejaum espaço topológico e
. É possível obter no máximo
conjuntos diferentes tomando fechos e complementos de
. Além disso existe um espaço topológico onde esse limite é atingido.
Para a prova vamos considerar o fecho e o complemento como operadores agindo no conjunto de subconjuntos de . Vamo denotá-los por
Repare (ou verifique) que podemos escrever o interior de utilizando essa notação. 
(o interior polui o ar? \piadaruimmode on).
É fácil ver também que o conjunto de todos os operadores gerados por
e 
com a operação de composição é um monoide, pois a composição é uma operação associativa e a identidade (o operador identidade) está nesse conjunto pois 
, chamaremos esse monoide de 
e costumamos chamá-lo de monoide de Kuratowski.
É possível induzir uma ordem parcial nesse monoide. Dizemos para
que 
, se para todo 
temos 
. Além disso chamamos um operador 
de isotônico se 
(note que o operador fecho é isotônico).
Depois dessas ideias vamos agora à demonstração de verdade.
Demonstração:
Como e 
, os elementos em são da forma
e 
Isso é, eles não vão ter nenhum fator nem com potência maior que 
, pelas relações que mencionei, além disso eles se encaixam em um dos quatro grupos, começa em e termina em , começa em e termina em , etc.
Queremos mostrar que
e isso nos dará o limite superior de , pois os operadores restantes serão
Note que
, pois 
é o interior de 
. Como é isotônico, segue que 
. Para a desigualdade contrária repare que 
, pois 
é o interior de 
. Logo 
. Mas então temos 
e 
. Isso prova que . Como queríamos.
Para terminar a prova basta mostrar um conjunto num espaço topológico tal que todos aqueles operadores geram conjuntos distintos quando agem sobre ele. Nesse caso o conjunto
Em
com a topologia usual, funciona. 
Bizarro não? Esse teorema deixou muita gente pensativa a respeito do porquê desse número aparentemente aleatório. Muita coisa foi feita em direção a saber quando espaços topológicos possuem um conjunto que realiza esse número, etc.
O artigo que coloco aqui embaixo (que foi de onde eu tirei a demonstração) fala sobre muitas coisas mesmo a respeito desse problema.
É isso espero que tenham curtido!
Até
Referências:
B. Gardner, M. Jackson - Kuratowski Closure-Complement Theorem
. Vamo denotá-los porRepare (ou verifique) que podemos escrever o interior de
utilizando essa notação. (o interior polui o ar? \piadaruimmode on).É fácil ver também que o conjunto de todos os operadores gerados por
e com a operação de composição é um monoide, pois a composição é uma operação associativa e a identidade (o operador identidade) está nesse conjunto pois , chamaremos esse monoide de e costumamos chamá-lo de monoide de Kuratowski.É possível induzir uma ordem parcial nesse monoide. Dizemos para
que , se para todo temos . Além disso chamamos um operador de isotônico se (note que o operador fecho é isotônico).Depois dessas ideias vamos agora à demonstração de verdade.
Demonstração:
Como
e , os elementos em são da forma e Isso é, eles não vão ter nenhum fator
nem com potência maior que , pelas relações que mencionei, além disso eles se encaixam em um dos quatro grupos, começa em e termina em , começa em e termina em , etc.Queremos mostrar que
e isso nos dará o limite superior de , pois os operadores restantes serãoNote que
, pois é o interior de . Como é isotônico, segue que . Para a desigualdade contrária repare que , pois é o interior de . Logo . Mas então temos e . Isso prova que . Como queríamos.Para terminar a prova basta mostrar um conjunto num espaço topológico tal que todos aqueles operadores geram conjuntos distintos quando agem sobre ele. Nesse caso o conjunto
Em
com a topologia usual, funciona. Bizarro não? Esse teorema deixou muita gente pensativa a respeito do porquê desse número
aparentemente aleatório. Muita coisa foi feita em direção a saber quando espaços topológicos possuem um conjunto que realiza esse número, etc.O artigo que coloco aqui embaixo (que foi de onde eu tirei a demonstração) fala sobre muitas coisas mesmo a respeito desse problema.
É isso espero que tenham curtido!
Até
Referências:
B. Gardner, M. Jackson - Kuratowski Closure-Complement Theorem
5 comentários:
Ficou muito bom esse Gabriel, muito bom mesmo. E vc postou quase que imediatamente. Confesso que estou impressionado com a rapidez. ;D
Aqui no LeGauss colocamos eficiência em primeiro lugar! uhauhauh
=P
Muito bom mesmo, Gabriel, com exceção da piada, é claro :P !
Essa observação de que os caras f e g com a composição formam um monoide é bem interessante, fiquei curioso para tentar ler as outras milhares de coisas que tem no artigo ai...
Muito legal! A demonstração é meio "feia", no sentido de que vc tem que listar os operadores e ficar brincando com os cloro-fluor-carbonos, mas a ideia do começo é muito boa. Sem contar que o resultado é incrível.
Agora, não tive a coragem de testar aquele conjunto, mas acredito que seja verdade.
Não achei nem um pouco feia mas entendo quem achou hehe. Mas a ideia irada é a relação de ordem que ele induz no monoide, isso que mata o problema e que não é tão trivial de se pensar, mas que permite que a gente faça as contas como se eles fossem números sem se preocupar muito.
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