Olá galerinha do LeGauss
Em um post anterior afirmei que um certo número era claramente finito:
Se quiser tente provar, não deveria ser mto difícil, um esquema parecido com o que eu fiz no meu post pode ajudar.
Mas nesse post vou utilizar o teorema do ponto fixo de Banach que eu já demonstrei aqui no blog (se não viu veja aqui).
Vamos lá!
Em um post anterior afirmei que um certo número era claramente finito:
Se quiser tente provar, não deveria ser mto difícil, um esquema parecido com o que eu fiz no meu post pode ajudar.
Mas nesse post vou utilizar o teorema do ponto fixo de Banach que eu já demonstrei aqui no blog (se não viu veja aqui).
Vamos lá!
Perceba que esse número claramente pode ser definido como o limite da sequência:
Podemos também olhar para a função
e perceber que na verdade nossa sequência é a sequência de iteradas dessa função. Isso é, podemos definir:
E se mostrarmos que essa função é uma contração, saberemos que ela tem um único ponto fixo e além disso independente de quem é
essa sequência convergirá para esse ponto fixo!
Para mostrarmos que ela é uma contração temos que mostrar que:
Note que podemos olhar só para os números
pois a função é monotônica e no caso eu estou incluindo o zero em 
.
Basta notar agora que:
Esse dois vale pela monotonicidade da função e porque
Isso motra que a função é uma contração, portanto possui um único ponto fixo em e que nossa sequência portanto converge pra ele independente de quem é , desde que ele pertença ao domínio que nós impomos.
Tá aí uma aplicação legal do teorema que eu demonstrei. =P
Espero que tenham curtido.
Podemos também olhar para a função
e perceber que na verdade nossa sequência é a sequência de iteradas dessa função. Isso é, podemos definir:E se mostrarmos que essa função é uma contração, saberemos que ela tem um único ponto fixo e além disso independente de quem é
essa sequência convergirá para esse ponto fixo!Para mostrarmos que ela é uma contração temos que mostrar que:
Note que podemos olhar só para os números
pois a função é monotônica e no caso eu estou incluindo o zero em .Basta notar agora que:
Esse dois vale pela monotonicidade da função e porque
Isso motra que a função é uma contração, portanto possui um único ponto fixo em
e que nossa sequência portanto converge pra ele independente de quem é , desde que ele pertença ao domínio que nós impomos.Tá aí uma aplicação legal do teorema que eu demonstrei. =P
Espero que tenham curtido.
6 comentários:
Legal! Mas é mais fácil do outro jeito, huahuauha.
Esse jeito é bem fácil, o teorema é forte, mas como vc viu a demonstração não é especialmente difícil.
Além disso, repare que no outro post eu não provei que esse número era finito, só falei que era.
Fala Gabriel,
Tem algo estranho aí, o que vc precisa é apenas que essa x_n seja uma sequência convergente, certo? A melhor maneira é mostrar que ela é de Cauchy, já que R é completo, mas repare que o que vc fez depois, apesar de correto, não resolve o problema. De fato essa f é uma contração e portanto como R é completo ela tem um único ponto fixo, mas você não sabe quem é esse ponto fixo! É claro que a prova do teorema diz mais, diz que fixado qualquer x_0, a sequência de iterados desse cara produz o teu único ponto fixo!
Sacou? O que está em jogo é algo mais sutil do que apenas usar que f tem ponto fixo, vc usa esse pequeno corolário, que é ótimo, pois a prova do teorema é construtiva =)
abração!
Bom, percebo que talvez o texto não esteja tão claro quando deveria estar, tem várias coisas fortes aí de fato, o que eu precisava é que o número fosse finito e eu mostrei que por ele ser uma iterada de uma contração ele convergia para o ponto fixo da contração, que sim é único, eu falei no post onde eu demonstrei esse teorema mas não aqui então... é isso vou corrigir ali, o importante mesmo é que a sequência convirja.
Valeu pelo comentário!
Outro detalhe, eu não usei a unicidade do ponto fixo e nem precisava disso, mas uma coisa que é legal de notar é que se você tentasse calcular o ponto fixo com o teorema vc ia saber q era esse monte de raizes, ia saber que era um número finito etc, mas parava por aí. O método usado no post anterior que eu mencionei é muito mais explícito e te fala quem realmente é esse cara.
Fight fight fight!!! Danilo vs. Gabriel. UFC premier combate. Agora com transmissão pela web.
PS: Legal p/ kct esse post.
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