Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton - Final alternativo

No post Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton mostrei como demonstrar o Teorema de Cayley-Hamilton por continuidade, utilizando uma topologia diferente da usual. Porém, esta topologia é tão diferente que algumas boas propriedades, como ser Hausdorff, são perdidas. Este fato fez com que a demonstração ficasse mais complicada (e mais sutil na parte final) do que era para ser.

Neste post, quero apresentar uma outra forma de contornar o problema. Talvez o argumento que irei utilizar seja menos intuitivo, mas com certeza é mais simples, pelo fato de não precisarmos nos preocupar com separabilidade. Se você não leu o primeiro post, clique no link ali em cima.

Teorema. Seja uma matriz quadrada de ordem , com coeficientes num corpo , e seu polinômio característico. Então

Demonstração. Seja . Como é quadrada, de ordem , podemos enxergar como um elemento de . Além disso, o discriminante de pode ser visto como um polinômio em variáveis avaliado nos coeficientes de , pois os coeficientes de são polinômios em e o discrimininante de é um polinômio nos coeficientes de .

Assim, podemos falar de um polinômio de variáveis chamado discriminante. Se o discriminante de , ou seja , é não nulo, então tem raízes distintas e é diagonalizável. O conjunto das matrizes cujo discriminante de seu polinômio característico é não nulo, é, portanto, , que é aberto na Topologia de Zariski e, consequentemente, denso em .

Considere, novamente, o polinômio característico de . Pensando nos coeficientes de como variáveis, então podemos enxergar como um polinômio de variáveis: os coeficientes e . Avaliando este polinômio em , temos a matriz . Agora, cada uma das entradas de é um polinômio em . Sejam estes polinômios (vou omitir as variáveis para não carregar a notação).

Queremos decidir, então, quais matrizes , i.e., quais elementos de , satisfazem estes polinômios. Em outras palavras, queremos saber quais matrizes estão no conjunto algébrico . Mas já sabemos que . Como é denso em e é fechado, então .

Note que, apesar de não utilizarmos nenhuma função contínua nesta demonstração (em contraponto com a outra), ainda estamos nos aproveitando de um argumento de continuidade, pois dizer que é denso em é dizer que toda matriz está arbitrariamente próxima de uma matriz diagonalizável.

Utilizando esta mesma ideia deste post, você também pode resolver o desafio do primeiro post de uma maneira mais fácil.